Номер 1.2.9, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.9. Найдите отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля для момента времени $\frac{T}{12}$, считая, что процессы происходят в идеальном колебательном контуре. (Ответ: 3.)

Дано:

Идеальный колебательный контур

Момент времени $t = \frac{T}{12}$, где $T$ – период колебаний.

Найти:

$\frac{W_L}{W_C}$ – отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля.

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Энергия периодически переходит от электрического поля конденсатора ($W_C$) к магнитному полю катушки индуктивности ($W_L$) и обратно.

Энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки определяются формулами:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

$W_L = \frac{L i^2}{2}$

где $q$ – заряд на обкладках конденсатора, $i$ – сила тока в катушке, $C$ – ёмкость конденсатора, $L$ – индуктивность катушки.

Заряд на конденсаторе и сила тока в контуре изменяются со временем по гармоническому закону. Поскольку начальный момент времени ($t=0$) не определён, мы можем выбрать его произвольно. Предположим, что отсчёт времени начинается с момента, когда заряд на конденсаторе равен нулю, а сила тока максимальна. В этом случае зависимость заряда и тока от времени описывается уравнениями:

$q(t) = q_m \sin(\omega t)$

$i(t) = \frac{dq}{dt} = (q_m \sin(\omega t))' = q_m \omega \cos(\omega t) = I_m \cos(\omega t)$

где $q_m$ – амплитуда заряда, $I_m = q_m \omega$ – амплитуда силы тока, а $\omega$ – циклическая частота колебаний, которая связана с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставим эти зависимости в формулы для энергии:

$W_C(t) = \frac{(q_m \sin(\omega t))^2}{2C} = \frac{q_m^2}{2C} \sin^2(\omega t) = W_{C,max} \sin^2(\omega t)$

$W_L(t) = \frac{L(I_m \cos(\omega t))^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2} \cos^2(\omega t) = W_{L,max} \cos^2(\omega t)$

В идеальном контуре полная энергия сохраняется, поэтому максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля: $W_{C,max} = W_{L,max}$.

Теперь найдем искомое отношение энергий:

$\frac{W_L}{W_C} = \frac{W_{L,max} \cos^2(\omega t)}{W_{C,max} \sin^2(\omega t)} = \frac{\cos^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)} = \cot^2(\omega t)$

Вычислим фазу колебаний $\omega t$ для момента времени $t = \frac{T}{12}$:

$\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Подставим значение фазы в выражение для отношения энергий:

$\frac{W_L}{W_C} = \cot^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$, получаем:

$\frac{W_L}{W_C} = (\sqrt{3})^2 = 3$

Ответ: 3.