Номер 1.2.2, страница 18, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.2. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура равен $2 \text{ мкКл}$, а амплитудное значение силы тока в контуре составляет $4 \text{ мА}$. Пренебрегая потерями на нагревание проводников, определите период колебаний. (Ответ: $\pi \cdot 10^3 \text{ с}$.)

Дано:

Максимальный заряд на обкладках конденсатора $q_m = 2$ мкКл $= 2 \cdot 10^{-6}$ Кл

Амплитудное значение силы тока $I_m = 4$ мА $= 4 \cdot 10^{-3}$ А

Найти:

Период колебаний $T$.

Решение:

В идеальном колебательном контуре, где потерями на нагревание пренебрегают, заряд на конденсаторе и сила тока изменяются по гармоническому закону. Заряд на обкладках конденсатора можно описать функцией:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

где $q_m$ — амплитуда заряда (максимальный заряд), а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сила тока в контуре является производной от заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Амплитудное значение силы тока $I_m$ — это максимальное значение модуля силы тока:

$I_m = q_m \omega$

Из этого соотношения можно выразить циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{I_m}{q_m}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для периода $T$:

$T = \frac{2\pi}{(I_m/q_m)} = \frac{2\pi q_m}{I_m}$

Теперь подставим числовые значения данных из условия задачи в полученную формулу:

$T = \frac{2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ А}} = \frac{4\pi \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{-3}} \text{ с} = \pi \cdot 10^{-6 - (-3)} \text{ с} = \pi \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Ответ: период колебаний равен $\pi \cdot 10^{-3}$ с.