Номер 1.2.5, страница 18, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.5. Найдите период колебаний энергии конденсатора в идеальном колебательном контуре, если амплитуда тока в контуре составляет 31,4 мА, а амплитуда заряда конденсатора составляет $2 \cdot 10^{-7}$ Кл. (Ответ: 40 мкс.)

Дано:

Амплитуда тока $I_m = 31,4 \text{ мА}$

Амплитуда заряда $q_m = 2 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:

$I_m = 31,4 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 3,14 \cdot 10^{-2} \text{ А}$

Найти:

Период колебаний энергии конденсатора $T_E$

Решение:

В идеальном колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по гармоническому закону:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сила тока в контуре является производной от заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Из этого соотношения видно, что амплитуда тока $I_m$ связана с амплитудой заряда $q_m$ и циклической частотой $\omega$ следующим образом:

$I_m = q_m \omega$

Отсюда можно выразить циклическую частоту колебаний заряда и тока:

$\omega = \frac{I_m}{q_m}$

Энергия электрического поля конденсатора $W_C$ зависит от квадрата заряда:

$W_C(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = \frac{(q_m \cos(\omega t))^2}{2C} = \frac{q_m^2}{2C} \cos^2(\omega t)$

Для определения периода колебаний энергии воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$W_C(t) = \frac{q_m^2}{2C} \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{q_m^2}{4C} (1 + \cos(2\omega t))$

Из полученного выражения видно, что энергия конденсатора колеблется с циклической частотой $\omega_E = 2\omega$, которая в два раза превышает частоту колебаний заряда и тока. Соответственно, период колебаний энергии $T_E$ в два раза меньше периода колебаний заряда и тока $T$:

$T_E = \frac{2\pi}{\omega_E} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$

Подставим в эту формулу выражение для $\omega$:

$T_E = \frac{\pi}{I_m / q_m} = \frac{\pi q_m}{I_m}$

Подставим числовые значения из условия задачи, используя приближение $\pi \approx 3,14$:

$I_m = 31,4 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 10 \cdot 3,14 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 10\pi \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$T_E = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}}{10\pi \cdot 10^{-3} \text{ А}} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{10 \cdot 10^{-3}} \text{ с} = 0,2 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Переведем результат в микросекунды (1 мкс = $10^{-6}$ с):

$T_E = 2 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 20 \text{ мкс}$

Ответ: $20 \text{ мкс}$.