Номер 1.2.8, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.8. В колебательном контуре параллельно конденсатору емкостью $\text{C}$ присоединили другой конденсатор, емкость которого составляет $8C$. В результате частота электромагнитных колебаний изменилась на $200 \text{ Гц}$. Найдите первоначальную частоту колебаний. (Ответ: $300 \text{ Гц}$.)

Дано:

Первоначальная емкость конденсатора: $C_1 = C$

Емкость присоединенного конденсатора: $C_{доп} = 8C$

Изменение частоты колебаний: $Δν = 200$ Гц

Найти:

Первоначальную частоту колебаний $ν_1$.

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$ν = \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

Первоначальная частота колебаний контура была:

$ν_1 = \frac{1}{2π\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

После присоединения параллельно еще одного конденсатора емкостью $8C$, общая емкость батареи конденсаторов стала равной сумме их емкостей:

$C_2 = C_1 + C_{доп} = C + 8C = 9C$

Новая частота колебаний $ν_2$ будет равна:

$ν_2 = \frac{1}{2π\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2π\sqrt{L(9C)}} = \frac{1}{2π \cdot 3\sqrt{LC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

Из сравнения формул для $ν_1$ и $ν_2$ видно, что:

$ν_2 = \frac{1}{3}ν_1$

Поскольку $ν_2 < ν_1$, частота колебаний уменьшилась. Изменение частоты по условию задачи составляет $Δν = 200$ Гц. Это изменение равно разности между начальной и конечной частотами:

$Δν = ν_1 - ν_2$

Подставим в это выражение $ν_2 = \frac{1}{3}ν_1$:

$Δν = ν_1 - \frac{1}{3}ν_1 = \frac{2}{3}ν_1$

Теперь мы можем найти первоначальную частоту $ν_1$:

$ν_1 = \frac{3 \cdot Δν}{2} = \frac{3 \cdot 200 \text{ Гц}}{2} = 3 \cdot 100 \text{ Гц} = 300 \text{ Гц}$

Ответ: первоначальная частота колебаний составляла 300 Гц.