Номер 1.2.6, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.6. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 4 мГн и плоского конденсатора, состоящего из двух пластинок в виде дисков радиусом 1 см, расположенных на расстоянии 0,278 мм друг от друга. Определите период собственных колебаний контура. Каков будет период колебаний, если конденсатор заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 4$. (Ответ: 1,256 мкс; 2,512 мкс.)

Дано:

Индуктивность катушки $L = 4 \text{ мГн} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Радиус пластин конденсатора $R = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Расстояние между пластинами $d = 0,278 \text{ мм} = 0,278 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика $\varepsilon = 4$

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8,854 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Период колебаний без диэлектрика $T_1$

Период колебаний с диэлектриком $T_2$

Решение:

Период собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

1. Определение периода собственных колебаний контура ($T_1$)

Сначала найдем период колебаний $T_1$ для контура, в котором диэлектриком в конденсаторе является воздух ($\varepsilon_r \approx 1$). Для этого необходимо рассчитать емкость плоского конденсатора $C_1$.

Формула емкости плоского конденсатора:

$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

где $S$ - площадь пластин. Так как пластины имеют форму диска, их площадь равна:

$S = \pi R^2 = \pi \cdot (1 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2 = \pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Подставим числовые значения в формулу для емкости:

$C_1 = \frac{8,854 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot \pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{0,278 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx \frac{8,854 \cdot 3,14 \cdot 10^{-16}}{0,278 \cdot 10^{-3}} \text{ Ф} \approx 1,0 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Теперь можем рассчитать период $T_1$, используя формулу Томсона:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1} = 2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 1,0 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}$

$T_1 = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Принимая $\pi \approx 3,14$, получаем:

$T_1 \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 12,56 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 1,256 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 1,256 \text{ мкс}$

2. Определение периода колебаний с диэлектриком ($T_2$)

Теперь найдем период колебаний $T_2$, когда пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 4$.

Емкость конденсатора с диэлектриком $C_2$ увеличится в $\varepsilon$ раз по сравнению с емкостью воздушного конденсатора $C_1$:

$C_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} = \varepsilon \cdot C_1 = 4 C_1$

Новый период колебаний $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2} = 2\pi\sqrt{L \cdot (\varepsilon C_1)} = \sqrt{\varepsilon} \cdot (2\pi\sqrt{LC_1}) = \sqrt{\varepsilon} \cdot T_1$

Подставим значения:

$T_2 = \sqrt{4} \cdot T_1 = 2 \cdot T_1 = 2 \cdot 1,256 \text{ мкс} = 2,512 \text{ мкс}$

Ответ: период собственных колебаний контура составляет $1,256 \text{ мкс}$; после заполнения конденсатора диэлектриком период колебаний будет равен $2,512 \text{ мкс}$.