Номер 1.2.4, страница 18, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.4. Определите период колебаний колебательного контура, если максимальный заряд конденсатора в процессе колебаний равен $2 \cdot 10^{-8}$ Кл, а максимальный ток в катушке - 1 А. (Ответ: 125,6 нс.)

Дано:

Максимальный заряд конденсатора, $q_{max} = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл

Максимальный ток в катушке, $I_{max} = 1$ А

(Все данные приведены в системе СИ)

Найти:

Период колебаний, $T$

Решение:

В идеальном колебательном контуре заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

где $q_{max}$ - максимальный (амплитудный) заряд, а $\omega$ - циклическая частота колебаний.

Сила тока в контуре является первой производной от заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_{max} \cos(\omega t)) = -q_{max} \omega \sin(\omega t)$

Из этого уравнения видно, что амплитудное (максимальное) значение силы тока $I_{max}$ связано с амплитудным значением заряда $q_{max}$ и циклической частотой $\omega$ следующим образом:

$I_{max} = q_{max} \cdot \omega$

Выразим из этой формулы циклическую частоту:

$\omega = \frac{I_{max}}{q_{max}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для периода $T$:

$T = \frac{2\pi}{I_{max} / q_{max}} = 2\pi \frac{q_{max}}{I_{max}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$T = 2\pi \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{1 \text{ А}} = 4\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Примем значение $\pi \approx 3,14$:

$T \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 12,56 \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Переведем результат в наносекунды (1 нс = $10^{-9}$ с):

$T = 12,56 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 125,6 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 125,6 \text{ нс}$

Ответ: 125,6 нс.