Номер 1.2.3, страница 18, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.3. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем примет вид: $ i = -0,01 \sin 200\pi t $ (А). Принимая, что емкость конденсатора равна 507 нФ, определите период электромагнитных колебаний; индуктивность катушки; максимальную энергию магнитного поля. (Ответ: 0,01 c; 5 Гн; 0,25 мДж.)

Дано:

Уравнение изменения силы тока: $i(t) = -0,01 \sin(200\pi t)$ А

Емкость конденсатора: $C = 507 \text{ нФ}$

Перевод в СИ:

$C = 507 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Найти:

период электромагнитных колебаний, $T$ - ?

индуктивность катушки, $L$ - ?

максимальную энергию магнитного поля, $W_{m_{max}}$ - ?

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний силы тока в контуре имеет вид $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда (максимальное значение) силы тока, а $\omega$ — циклическая (круговая) частота колебаний.

Сравнивая это общее уравнение с данным в условии $i(t) = -0,01 \sin(200\pi t)$, мы можем определить:

Амплитуду силы тока: $I_m = 0,01 \text{ А}$ (знак "минус" относится к начальной фазе и не влияет на максимальное по модулю значение тока).

Циклическую частоту: $\omega = 200\pi \text{ рад/с}$.

Имея эти значения, мы можем найти искомые величины.

период электромагнитных колебаний

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим значение $\omega$ из уравнения тока:

$T = \frac{2\pi}{200\pi} = \frac{1}{100} = 0,01 \text{ с}$.

Ответ: $T = 0,01 \text{ с}$.

индуктивность катушки

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Возведем обе части в квадрат и выразим индуктивность $L$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C}$

Подставим известные значения $\omega = 200\pi \text{ рад/с}$ и $C = 507 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$:

$L = \frac{1}{(200\pi)^2 \cdot 507 \cdot 10^{-9}} = \frac{1}{40000\pi^2 \cdot 507 \cdot 10^{-9}} \approx 5 \text{ Гн}$.

Ответ: $L \approx 5 \text{ Гн}$.

максимальную энергию магнитного поля

Энергия магнитного поля катушки индуктивности в любой момент времени равна $W_m = \frac{Li(t)^2}{2}$. Максимальная энергия достигается, когда ток максимален, то есть равен амплитудному значению $I_m$.

$W_{m_{max}} = \frac{L I_m^2}{2}$

Подставим найденные значения $L \approx 5 \text{ Гн}$ и $I_m = 0,01 \text{ А}$:

$W_{m_{max}} = \frac{5 \cdot (0,01)^2}{2} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{2} = 2,5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

Переведем джоули в миллиджоули ($1 \text{ мДж} = 10^{-3} \text{ Дж}$):

$W_{m_{max}} = 2,5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 0,25 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,25 \text{ мДж}$.

Ответ: $W_{m_{max}} = 0,25 \text{ мДж}$.