Номер 1.2.7, страница 19, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.7. Контур состоит из катушки индуктивности и трех одинаковых, последовательно соединенных конденсаторов. Период колебаний в контуре равен 10 мкс. Каким станет период колебаний контура, если последовательное соединение конденсатора заменить параллельным? (Ответ: 30 мкс.)

Дано:

Количество одинаковых конденсаторов, $n = 3$

Период колебаний при последовательном соединении конденсаторов, $T_1 = 10 \text{ мкс}$

$T_1 = 10 \times 10^{-6} \text{ с}$

Найти:

Период колебаний при параллельном соединении конденсаторов, $T_2$

Решение:

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC_{общ}}$

где $L$ - индуктивность катушки, а $C_{общ}$ - общая емкость конденсаторов в контуре.

Пусть емкость каждого из трех одинаковых конденсаторов равна $C$.

В первом случае, когда конденсаторы соединены последовательно, их общая емкость $C_{посл}$ рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$

Отсюда $C_{посл} = \frac{C}{3}$.

Период колебаний в этом случае $T_1$ равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_{посл}} = 2\pi\sqrt{L\frac{C}{3}}$

Во втором случае, когда эти же конденсаторы соединены параллельно, их общая емкость $C_{пар}$ равна сумме емкостей:

$C_{пар} = C + C + C = 3C$

Новый период колебаний $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_{пар}} = 2\pi\sqrt{L(3C)} = 2\pi\sqrt{3LC}$

Чтобы найти, как изменился период, найдем отношение $T_2$ к $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{3LC}}{2\pi\sqrt{L\frac{C}{3}}} = \sqrt{\frac{3LC}{L\frac{C}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{3}}} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, новый период $T_2$ в 3 раза больше первоначального периода $T_1$:

$T_2 = 3 \cdot T_1$

Подставим значение $T_1$:

$T_2 = 3 \cdot 10 \text{ мкс} = 30 \text{ мкс}$

Ответ: 30 мкс.