Номер 3, страница 32, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3. Как известно, график зависимости ЭДС от времени при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле представляет собой синусоиду. Как изменится график, если частота вращения рамки удвоится?

3. Для ответа на этот вопрос рассмотрим аналитически, как ЭДС индукции зависит от параметров вращения рамки.

Дано:

Начальная частота вращения рамки: $ν_1 = ν$

Конечная частота вращения рамки: $ν_2 = 2ν$

Зависимость ЭДС от времени представляет собой синусоиду.

Найти:

Как изменится график зависимости ЭДС от времени $ε(t)$.

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в рамке с $N$ витками и площадью $S$, вращающейся с постоянной угловой скоростью $ω$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$, определяется по закону электромагнитной индукции Фарадея: $ε(t) = - \frac{dΦ}{dt}$

Магнитный поток $Φ$ через рамку изменяется со временем по закону: $Φ(t) = N B S \cos(α)$, где $α$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

При равномерном вращении угол $α$ изменяется линейно со временем: $α(t) = ωt$. Тогда магнитный поток равен: $Φ(t) = N B S \cos(ωt)$

Найдем производную от магнитного потока по времени, чтобы определить ЭДС: $ε(t) = - \frac{d}{dt} (N B S \cos(ωt)) = - N B S (-\sin(ωt) \cdot ω) = N B S ω \sin(ωt)$

Это уравнение описывает синусоидальную зависимость ЭДС от времени. Его можно записать в виде: $ε(t) = ε_{max} \sin(ωt)$, где $ε_{max} = N B S ω$ — амплитудное (максимальное) значение ЭДС.

Угловая скорость $ω$ связана с частотой вращения $ν$ соотношением: $ω = 2πν$

Подставим это в выражение для амплитуды ЭДС: $ε_{max} = N B S (2πν)$

Из этой формулы видно, что амплитуда ЭДС $ε_{max}$ прямо пропорциональна частоте вращения $ν$.

Теперь рассмотрим, что произойдет, если частота вращения рамки удвоится. Пусть начальная частота $ν_1 = ν$, а конечная $ν_2 = 2ν$.

1. Изменение амплитуды:

Начальная амплитуда: $ε_{max,1} = N B S (2πν_1) = N B S (2πν)$

Новая амплитуда: $ε_{max,2} = N B S (2πν_2) = N B S (2π(2ν)) = 2 \cdot (N B S (2πν)) = 2ε_{max,1}$.

Таким образом, при удвоении частоты вращения амплитуда ЭДС также удвоится.

2. Изменение периода:

Период колебаний $T$ связан с частотой $ν$ как $T = \frac{1}{ν}$. Он также связан с угловой скоростью как $T = \frac{2π}{ω}$.

Начальный период: $T_1 = \frac{1}{ν_1} = \frac{1}{ν}$.

Новый период: $T_2 = \frac{1}{ν_2} = \frac{1}{2ν} = \frac{T_1}{2}$.

Следовательно, при удвоении частоты период колебаний ЭДС уменьшится в два раза.

Графические изменения:

График зависимости $ε(t)$ по-прежнему будет синусоидой, но:

- его "высота" (амплитуда) увеличится в 2 раза;

- он станет "сжатым" по горизонтальной оси (оси времени) в 2 раза, то есть колебания станут вдвое чаще.

Ответ: Если частота вращения рамки удвоится, то амплитуда синусоидальной зависимости ЭДС от времени увеличится в 2 раза, а период колебаний уменьшится в 2 раза.