Номер 2.2.3, страница 34, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.2.3. Определите число оборотов в единицу времени прямоугольной рамки, вращающейся в однородном магнитном поле, магнитная индукция которого составляет 1 Тл, если амплитуда наведенной в рамке ЭДС равна 6,28 В. Площадь рамки - 100 $см^2$, число витков рамки - 10. (Ответ: 10 $об/с$.)

Дано:

Магнитная индукция $B = 1$ Тл

Амплитуда ЭДС $E_{max} = 6.28$ В

Площадь рамки $S = 100$ см²

Число витков $N = 10$

Перевод в систему СИ:

$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$

Найти:

Число оборотов в единицу времени (частота вращения) $n$.

Решение:

При вращении проводящей рамки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется с течением времени. Это изменение вызывает появление электродвижущей силы (ЭДС) индукции.

Магнитный поток $\Phi$ через один виток рамки определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$,

где $B$ - магнитная индукция, $S$ - площадь рамки, $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки.

При равномерном вращении рамки с угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется по закону $\alpha = \omega t$. Полный магнитный поток через $N$ витков рамки равен:

$\Phi_{total} = N \cdot \Phi = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, наведенная в рамке ЭДС $E$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$E = -\frac{d\Phi_{total}}{dt} = -\frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Вычисляя производную, получаем:

$E = -N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Амплитудное (максимальное) значение ЭДС $E_{max}$ достигается, когда синус принимает максимальное значение, равное 1:

$E_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $n$ (числом оборотов в секунду) соотношением:

$\omega = 2\pi n$

Подставим это выражение в формулу для амплитуды ЭДС:

$E_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi n$

Из этой формулы выразим искомую частоту вращения $n$:

$n = \frac{E_{max}}{2\pi \cdot N \cdot B \cdot S}$

Подставим числовые значения в систему СИ, принимая $\pi \approx 3.14$ (тогда $2\pi \approx 6.28$):

$n = \frac{6.28 \text{ В}}{2 \cdot 3.14 \cdot 10 \cdot 1 \text{ Тл} \cdot 0.01 \text{ м}^2} = \frac{6.28}{6.28 \cdot 10 \cdot 0.01} = \frac{1}{0.1} = 10$ об/с

Ответ: число оборотов в единицу времени равно $10$ об/с.