Номер 2.2.5, страница 34, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.2.5. В магнитном поле индукцией $0,2 \text{ Тл}$ вращается с частотой $4 \text{ с}^{-1}$ квадратная рамка со стороной $2 \text{ см}$. Найдите действующую ЭДС, возникающую в ней. (Ответ: $2 \text{ мВ}$.)

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 0,2$ Тл

Частота вращения $f = 4 \text{ с}^{-1}$

Сторона квадратной рамки $a = 2$ см

Перевод в систему СИ:

Сторона рамки $a = 0,02$ м

Найти:

Действующую ЭДС $E_д$

Решение:

При вращении проводящей рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $Φ$, пронизывающий ее, изменяется со временем. Это изменение, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, приводит к возникновению ЭДС индукции. Магнитный поток в любой момент времени $t$ определяется формулой:

$Φ(t) = B \cdot S \cdot \cos(α)$

где $S$ - площадь рамки, а $α$ - угол между вектором магнитной индукции $B$ и вектором нормали к плоскости рамки.

Поскольку рамка вращается равномерно с частотой $f$, угол $α$ изменяется со временем по закону $α(t) = ωt$, где $ω = 2πf$ - угловая частота вращения. Тогда:

$Φ(t) = B \cdot S \cdot \cos(2πft)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, мгновенное значение ЭДС $E(t)$ равно скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$E(t) = -\frac{dΦ}{dt} = -\frac{d}{dt}(B \cdot S \cdot \cos(2πft)) = B \cdot S \cdot 2πf \cdot \sin(2πft)$

Данное уравнение показывает, что ЭДС изменяется по синусоидальному закону. Амплитудное (максимальное) значение ЭДС $E_{max}$ равно:

$E_{max} = B \cdot S \cdot ω = B \cdot S \cdot 2πf$

Действующее (эффективное) значение ЭДС $E_д$, которое требуется найти, для синусоидального сигнала связано с амплитудным значением формулой:

$E_д = \frac{E_{max}}{\sqrt{2}}$

Вычислим необходимые величины. Площадь квадратной рамки:

$S = a^2 = (0,02 \text{ м})^2 = 0,0004 \text{ м}^2$

Теперь рассчитаем амплитудное значение ЭДС:

$E_{max} = 0,2 \text{ Тл} \cdot 0,0004 \text{ м}^2 \cdot 2π \cdot 4 \text{ с}^{-1} = 0,00064π \text{ В}$

Используя $π ≈ 3,14159$, получаем:

$E_{max} ≈ 0,00064 \cdot 3,14159 \text{ В} ≈ 0,00201 \text{ В} \approx 2,01 \text{ мВ}$

Наконец, вычислим искомое действующее значение ЭДС:

$E_д = \frac{E_{max}}{\sqrt{2}} ≈ \frac{2,01 \text{ мВ}}{\sqrt{2}} ≈ \frac{2,01 \text{ мВ}}{1,4142} ≈ 1,42 \text{ мВ}$

Полученное значение $1,42 \text{ мВ}$ является физически корректным действующим значением ЭДС для данных условий. Значение $2 \text{ мВ}$, указанное в условии в скобках, с высокой точностью совпадает с амплитудным значением ЭДС ($E_{max} \approx 2,01 \text{ мВ}$), что, вероятно, является неточностью в формулировке вопроса или в приведенном ответе.

Ответ: $1,42 \text{ мВ}$.