Номер 2.2.1, страница 33, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.2.1. Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону $u = U_0 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$. В момент времени $t = \frac{T}{12}$ мгновенное напряжение $u = 10 \text{ В}$. Определите амплитуду напряжения $U_0$, круговую частоту $\omega$ и частоту $\nu$, если период колебаний равен $0,01 \text{ с}$. Начертите график изменения напряжения в зависимости от времени. (Ответ: $11,5 \text{ В}$; $628 \text{ рад/с}$; $100 \text{ Гц}$.)

Дано:

Закон изменения напряжения: $u = U_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$

Момент времени: $t = \frac{T}{12}$

Мгновенное напряжение в данный момент времени: $u = 10 \text{ В}$

Период колебаний: $T = 0.01 \text{ с}$

Найти:

$U_0$, $\omega$, $\nu$, начертить график $u(t)$.

Решение:

Определение круговой частоты $\omega$ и частоты $\nu$

Круговая частота $\omega$ и частота $\nu$ связаны с периодом колебаний $T$ следующими формулами:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим в формулы значение периода $T = 0.01 \text{ с}$:

$\omega = \frac{2\pi}{0.01} = 200\pi \approx 200 \cdot 3.14 = 628 \text{ рад/с}$

$\nu = \frac{1}{0.01} = 100 \text{ Гц}$

Ответ: Круговая частота $\omega \approx 628 \text{ рад/с}$, частота $\nu = 100 \text{ Гц}$.

Определение амплитуды напряжения $U_0$

Воспользуемся законом изменения напряжения $u = U_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ и подставим в него известные значения.

В момент времени $t = \frac{T}{12}$ мгновенное напряжение $u = 10 \text{ В}$.

Найдем фазу колебаний $(\omega t + \frac{\pi}{6})$ в этот момент. Для этого подставим выражение для круговой частоты $\omega = \frac{2\pi}{T}$ и значение времени $t = \frac{T}{12}$:

$\omega t + \frac{\pi}{6} = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \cdot \left(\frac{T}{12}\right) + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Теперь подставим полученное значение фазы и мгновенного напряжения в исходное уравнение:

$10 \text{ В} = U_0 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Из тригонометрии известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$10 = U_0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда выражаем амплитуду напряжения $U_0$:

$U_0 = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx \frac{20}{1.732} \approx 11.547 \text{ В}$

Округляя до десятых, получаем:

Ответ: Амплитуда напряжения $U_0 \approx 11.5 \text{ В}$.

График изменения напряжения в зависимости от времени

Полное уравнение колебаний напряжения имеет вид:

$u(t) = 11.5 \sin\left(200\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$

Графиком данной функции является синусоида со следующими характеристиками:

1. Амплитуда: $U_0 = 11.5 \text{ В}$. Это означает, что максимальное и минимальное значения напряжения равны $+11.5 \text{ В}$ и $-11.5 \text{ В}$ соответственно.

2. Период: $T = 0.01 \text{ с}$. График совершает одно полное колебание за $0.01$ секунды.

3. Начальная фаза: $\phi_0 = \frac{\pi}{6}$. Из-за этого в начальный момент времени $t=0$ напряжение не равно нулю, а составляет $u(0) = 11.5 \sin(\frac{\pi}{6}) = 11.5 \cdot 0.5 = 5.75 \text{ В}$.

4. Форма: График представляет собой синусоидальную волну, сдвинутую влево по оси времени относительно стандартной синусоиды. Она начинается в точке $(0; 5.75)$, возрастает до своего максимума $11.5 \text{ В}$, затем убывает, проходит через ноль, достигает минимума $-11.5 \text{ В}$ и возвращается к значению $5.75 \text{ В}$ через $0.01$ секунды, завершая период.

Ответ: График напряжения является синусоидой с амплитудой $11.5 \text{ В}$, периодом $0.01 \text{ с}$ и начальным значением $u(0) = 5.75 \text{ В}$.