Номер 2.2.4, страница 34, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.2.4. Чему равно число витков в круглом проводящем контуре радиусом 20 см, вращающемся в однородном магнитном поле индукцией 0,25 Тл с частотой 10 с⁻¹, если амплитудное значение ЭДС равно 19,7 В? (Ответ: 10 витков.)

Дано:

Радиус контура, $r = 20$ см

Индукция магнитного поля, $B = 0,25$ Тл

Частота вращения, $f = 10$ с⁻¹

Амплитудное значение ЭДС, $ε_{max} = 19,7$ В

Перевод в систему СИ:

$r = 0,2$ м

Найти:

Число витков, $N$

Решение:

При вращении замкнутого проводящего контура в однородном магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Магнитный поток $Φ$, пронизывающий контур, изменяется со временем по закону:

$Φ(t) = B \cdot A \cdot \cos(α)$

где $B$ – индукция магнитного поля, $A$ – площадь контура, а $α$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура $\vec{n}$.

Поскольку контур вращается с постоянной частотой $f$, угол $α$ изменяется со временем линейно: $α(t) = ωt$, где $ω = 2πf$ – угловая частота вращения.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в контуре, состоящем из $N$ витков, равна скорости изменения полного магнитного потока, взятой со знаком минус:

$ε(t) = - \frac{d(NΦ)}{dt} = -N \cdot (B \cdot A \cdot \cos(ωt))' = -N \cdot B \cdot A \cdot (-ω \sin(ωt)) = N \cdot B \cdot A \cdot ω \cdot \sin(ωt)$

Амплитудное (максимальное) значение ЭДС $ε_{max}$ соответствует моменту времени, когда $\sin(ωt)$ принимает максимальное значение, равное 1. Таким образом, формула для амплитуды ЭДС:

$ε_{max} = N \cdot B \cdot A \cdot ω$

Из этой формулы выразим искомое число витков $N$:

$N = \frac{ε_{max}}{B \cdot A \cdot ω}$

Площадь круглого контура определяется по формуле $A = πr^2$.

Подставим выражения для площади $A$ и угловой частоты $ω$ в формулу для числа витков:

$N = \frac{ε_{max}}{B \cdot (πr^2) \cdot (2πf)} = \frac{ε_{max}}{2π^2 B r^2 f}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$N = \frac{19,7 \text{ В}}{2 \cdot π^2 \cdot 0,25 \text{ Тл} \cdot (0,2 \text{ м})^2 \cdot 10 \text{ с}^{-1}}$

$N = \frac{19,7}{2 \cdot π^2 \cdot 0,25 \cdot 0,04 \cdot 10} = \frac{19,7}{0,5 \cdot π^2 \cdot 0,4} = \frac{19,7}{0,2 \cdot π^2}$

Используя приближенное значение $π^2 ≈ 9,87$, выполним вычисление:

$N ≈ \frac{19,7}{0,2 \cdot 9,87} = \frac{19,7}{1,974} ≈ 9,98$

Так как число витков должно быть целым числом, округляем полученный результат.

Ответ: 10 витков.