Номер 2, страница 39, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Цепь с источником переменного напряжения $u = U_m \cos \omega t$ содержит конденсатор с электроемкостью $\text{C}$ ($R \to 0; L \to 0$). Напишите выражения для силы тока в цепи, амплитудного значения силы тока, напряжения на конденсаторе. Нарисуйте цепь и графики зависимости $I_c(t)$ и $U_c(t)$ для этой цепи. Как сдвинуты по фазе колебания напряжения и силы тока в цепи с конденсатором?

Дано:

Источник переменного напряжения: $u = U_m \cos(\omega t)$

Элемент цепи: конденсатор с электроемкостью $C$

Параметры цепи: активное сопротивление $R \to 0$, индуктивность $L \to 0$

Найти:

- Выражение для силы тока в цепи $I_c(t)$

- Выражение для амплитудного значения силы тока $I_m$

- Выражение для напряжения на конденсаторе $U_c(t)$

- Схему цепи

- Графики зависимости $I_c(t)$ и $U_c(t)$

- Сдвиг фаз между колебаниями напряжения и силы тока

Решение:

1. Напряжение на конденсаторе

Поскольку в цепи отсутствуют другие элементы, кроме источника и конденсатора, напряжение на конденсаторе в любой момент времени равно напряжению источника.

$U_c(t) = u(t) = U_m \cos(\omega t)$

2. Сила тока в цепи

Заряд на обкладках конденсатора $q(t)$ связан с напряжением на нем $U_c(t)$ и емкостью $C$ соотношением:

$q(t) = C \cdot U_c(t) = C U_m \cos(\omega t)$

Сила тока в цепи $I_c(t)$ по определению является производной заряда по времени:

$I_c(t) = \frac{dq}{dt} = (C U_m \cos(\omega t))'$

$I_c(t) = C U_m (-\sin(\omega t) \cdot \omega) = -\omega C U_m \sin(\omega t)$

Для удобства сравнения фаз с напряжением, которое выражено через косинус, воспользуемся тригонометрической формулой приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$I_c(t) = \omega C U_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$

3. Амплитудное значение силы тока

Из полученного выражения для силы тока $I_c(t) = \omega C U_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$ видно, что множитель перед косинусом является амплитудой колебаний тока $I_m$.

$I_m = \omega C U_m$

Эту же величину можно получить, используя закон Ома для цепи переменного тока $I_m = \frac{U_m}{Z}$, где полное сопротивление цепи $Z$ в данном случае равно емкостному сопротивлению $X_C = \frac{1}{\omega C}$.

4. Сдвиг фаз

Сравним фазы колебаний напряжения $U_c(t) = U_m \cos(\omega t)$ (фаза равна $\omega t$) и силы тока $I_c(t) = I_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$ (фаза равна $\omega t + \frac{\pi}{2}$).

Разность фаз составляет:

$\Delta\phi = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$

Это означает, что в цепи переменного тока с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°).

5. Схема цепи и графики

Схема цепи представляет собой последовательное соединение источника переменного напряжения и конденсатора.

Графики зависимостей напряжения $U_c(t)$ (синий цвет) и силы тока $I_c(t)$ (красный цвет) от времени. График тока опережает график напряжения на четверть периода ($T/4$).

Ответ:

- Выражение для силы тока в цепи: $I_c(t) = \omega C U_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$

- Амплитудное значение силы тока: $I_m = \omega C U_m$

- Напряжение на конденсаторе: $U_c(t) = U_m \cos(\omega t)$

- Схема и графики: представлены выше в решении.

- Сдвиг фаз: в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают колебания напряжения по фазе на $\frac{\pi}{2}$.