Номер 3, страница 39, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3. Цепь с источником переменного напряжения $u = U_{\text{m}} \cos \omega t$ содержит катушку индуктивностью $L (R \to 0; C \to 0)$. Напишите выражения для мгновенного значения напряжения на катушке и силы тока в цепи, амплитудного значения силы тока. Нарисуйте цепь и графики зависимости $I_L(t)$ и $U_L(t)$ для этой цепи. Как сдвинуты по фазе колебания напряжения и силы тока в цепи с катушкой индуктивности?

Дано:

Источник переменного напряжения с мгновенным значением $u = U_m \cos(\omega t)$.

Цепь содержит идеальную катушку индуктивностью $L$.

Активное сопротивление $R \rightarrow 0$.

Емкость $C \rightarrow 0$.

Найти:

1. Выражение для мгновенного значения напряжения на катушке $u_L(t)$.

2. Выражение для мгновенного значения силы тока в цепи $i(t)$.

3. Выражение для амплитудного значения силы тока $I_m$.

4. Схему цепи.

5. Графики зависимостей $i(t)$ и $u_L(t)$.

6. Фазовый сдвиг между колебаниями напряжения и силы тока.

Решение:

1. Мгновенное значение напряжения на катушке.

Поскольку цепь состоит только из источника и катушки индуктивности, согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура, напряжение на катушке в любой момент времени равно напряжению источника.

Ответ: $u_L(t) = U_m \cos(\omega t)$

2. Мгновенное значение силы тока в цепи.

Напряжение на катушке связано с производной силы тока по времени через явление электромагнитной индукции: $u_L(t) = L \frac{di}{dt}$.

Выразим производную тока: $\frac{di}{dt} = \frac{u_L(t)}{L} = \frac{U_m \cos(\omega t)}{L}$.

Чтобы найти силу тока $i(t)$, необходимо проинтегрировать это выражение по времени:

$i(t) = \int \frac{U_m}{L} \cos(\omega t) dt = \frac{U_m}{L} \int \cos(\omega t) dt = \frac{U_m}{L\omega} \sin(\omega t)$.

По определению, выражение $\frac{U_m}{L\omega}$ является амплитудой тока $I_m$. Таким образом, мгновенное значение силы тока равно:

Ответ: $i(t) = \frac{U_m}{\omega L} \sin(\omega t)$

3. Амплитудное значение силы тока.

Из выражения для мгновенного значения силы тока $i(t) = \frac{U_m}{\omega L} \sin(\omega t)$ видно, что максимальное значение, которое может принимать ток (его амплитуда), равно коэффициенту перед синусом.

Величина $X_L = \omega L$ называется индуктивным сопротивлением. Тогда амплитуду тока можно записать как:

Ответ: $I_m = \frac{U_m}{\omega L}$ или $I_m = \frac{U_m}{X_L}$

4. Схема цепи.

Схема представляет собой последовательное соединение источника переменного тока (обозначается кружком с синусоидой внутри) и катушки индуктивности (обозначается спиралью).

[Изображение: Схема электрической цепи, состоящей из источника переменного напряжения и катушки индуктивности, соединенных последовательно.]

Ответ: Схема цепи представляет собой замкнутый контур, содержащий источник переменного напряжения и катушку индуктивности.

5. Графики зависимости $i(t)$ и $u_L(t)$.

График напряжения $u_L(t) = U_m \cos(\omega t)$ представляет собой косинусоиду, которая в момент времени $t=0$ имеет максимальное значение $U_m$.

График силы тока $i(t) = I_m \sin(\omega t)$ представляет собой синусоиду, которая в момент времени $t=0$ равна нулю, а затем возрастает, достигая своего максимума $I_m$ в момент времени $t = T/4$, где $T$ - период колебаний.

[Изображение: Графики, на одной оси времени t показаны две кривые. Одна кривая (напряжение U) является косинусоидой, начинающейся с максимума. Вторая кривая (ток I) является синусоидой, начинающейся с нуля и достигающей своего максимума на четверть периода позже, чем кривая напряжения.]

Ответ: График напряжения является косинусоидой, а график силы тока - синусоидой. Пик тока отстает от пика напряжения на четверть периода.

6. Сдвиг фаз между колебаниями напряжения и силы тока.

Мы имеем два выражения: $u_L(t) = U_m \cos(\omega t)$ и $i(t) = I_m \sin(\omega t)$.

Чтобы сравнить фазы, приведем оба выражения к одной тригонометрической функции, например, к косинусу, используя формулу приведения $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$.

$i(t) = I_m \sin(\omega t) = I_m \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.

Теперь сравним фазы: фаза напряжения $\phi_u = \omega t$, а фаза тока $\phi_i = \omega t - \frac{\pi}{2}$.

Разность фаз $\Delta \phi = \phi_u - \phi_i = \omega t - (\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Это означает, что колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°). Иначе говоря, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: В цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90 градусов).