Номер 2.3.5, страница 40, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.3.5. Напишите уравнения, выражающие зависимость напряжения $u = u(t)$ и силы тока $i = i(t)$ от времени $\text{t}$ в резисторе сопротивлением $100 \text{ Ом}$, включенном в сеть переменного тока с напряжением $220 \text{ В}$ стандартной частоты. (Ответ: $u(t) = 311 \cos 100 \pi t$; $i(t) = 3,11 \cos 100 \pi t$.)

Дано:

Сопротивление резистора: $R = 100$ Ом

Действующее (эффективное) напряжение в сети: $U_{действ} = 220$ В

Стандартная частота переменного тока: $f = 50$ Гц

Найти:

Уравнение зависимости напряжения от времени: $u(t)$

Уравнение зависимости силы тока от времени: $i(t)$

Решение:

Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени является гармоническим колебанием. Общий вид уравнения для мгновенного напряжения $u(t)$ выглядит так:

$u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза. Для простоты примем начальную фазу равной нулю ($\phi_0 = 0$).

Напряжение, указываемое для бытовых сетей переменного тока (220 В), является действующим (или среднеквадратичным) значением, а не амплитудным. Амплитудное значение напряжения $U_m$ связано с действующим значением $U_{действ}$ соотношением:

$U_m = U_{действ} \cdot \sqrt{2}$

Подставим числовое значение действующего напряжения:

$U_m = 220 \cdot \sqrt{2} \approx 220 \cdot 1.4142 \approx 311.1$ В

В соответствии с ответом, приведенным в задаче, округлим это значение до 311 В.

$U_m = 311$ В

Стандартная частота переменного тока в России и странах Европы составляет 50 Гц. Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ формулой:

$\omega = 2\pi f$

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с

Теперь мы можем записать итоговое уравнение для зависимости напряжения от времени:

$u(t) = 311 \cos(100\pi t)$ (В)

Далее найдем уравнение для силы тока $i(t)$. Согласно закону Ома для участка цепи, мгновенное значение силы тока $i(t)$ равно отношению мгновенного значения напряжения $u(t)$ к сопротивлению $R$:

$i(t) = \frac{u(t)}{R}$

Поскольку в цепи находится только активное сопротивление (резистор), колебания силы тока происходят в той же фазе, что и колебания напряжения. Уравнение для силы тока будет иметь вид:

$i(t) = I_m \cos(\omega t)$

где $I_m$ — амплитудное значение силы тока. Его можно найти по закону Ома для амплитудных значений:

$I_m = \frac{U_m}{R}$

Подставим известные значения $U_m$ и $R$:

$I_m = \frac{311}{100} = 3.11$ А

Таким образом, уравнение для зависимости силы тока от времени имеет вид:

$i(t) = 3.11 \cos(100\pi t)$ (А)

Ответ:

Уравнение для напряжения: $u(t) = 311 \cos(100\pi t)$.

Уравнение для силы тока: $i(t) = 3.11 \cos(100\pi t)$.