Номер 1, страница 43, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1. Как записываются уравнения для мгновенных значений силы тока и напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, катушку и конденсатор?

1. В цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор (с активным сопротивлением $R$), катушку индуктивности ($L$) и конденсатор (с емкостью $C$), мгновенные значения напряжения $u(t)$ и силы тока $i(t)$ изменяются по гармоническому закону. Однако из-за наличия реактивных элементов (катушки и конденсатора) возникает сдвиг фаз $\varphi$ между колебаниями напряжения и тока.

Примем, что напряжение, подаваемое на цепь, изменяется со временем по закону синуса (это не меняет общности, можно выбрать и косинус):

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$

Тогда сила тока в цепи также будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой $\omega$, но со сдвигом по фазе на угол $\varphi$ относительно напряжения:

$i(t) = I_m \sin(\omega t - \varphi)$

В этих уравнениях:

• $u(t)$ и $i(t)$ — мгновенные значения напряжения и силы тока в момент времени $t$;
• $U_m$ и $I_m$ — амплитудные (максимальные) значения напряжения и силы тока;
• $\omega$ — циклическая (угловая) частота переменного тока, связанная с обычной частотой $f$ соотношением $\omega = 2\pi f$;
• $\varphi$ — сдвиг фаз между колебаниями напряжения и силы тока.

Амплитуда силы тока $I_m$ находится по закону Ома для цепи переменного тока, где в качестве сопротивления выступает полное сопротивление цепи $Z$, называемое импедансом:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

Импеданс $Z$ для последовательной RLC-цепи рассчитывается по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Здесь:

• $R$ — активное сопротивление;
• $X_L = \omega L$ — индуктивное (реактивное) сопротивление катушки;
• $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное (реактивное) сопротивление конденсатора.

Сдвиг фаз $\varphi$ определяется соотношением реактивного и активного сопротивлений в цепи. Его тангенс равен:

$\tan(\varphi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$

Знак сдвига фаз $\varphi$ показывает, какой элемент (индуктивность или емкость) оказывает доминирующее влияние:

1. Если $X_L > X_C$, то $\varphi > 0$. Цепь имеет индуктивный характер, напряжение опережает по фазе силу тока (или ток отстает от напряжения).
2. Если $X_C > X_L$, то $\varphi < 0$. Цепь имеет емкостный характер, напряжение отстает по фазе от силы тока (или ток опережает напряжение).
3. Если $X_L = X_C$, то $\varphi = 0$. В цепи наступает резонанс напряжений. Импеданс цепи минимален ($Z=R$), а сила тока достигает максимального значения. Колебания тока и напряжения совпадают по фазе.

Ответ: Уравнения для мгновенных значений напряжения и силы тока в последовательной RLC-цепи записываются в виде:

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$

$i(t) = I_m \sin(\omega t - \varphi)$

где амплитуда тока $I_m$ и сдвиг фаз $\varphi$ определяются параметрами цепи $R, L, C$ и частотой тока $\omega$ следующим образом:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$, где полное сопротивление (импеданс) $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

$\tan(\varphi) = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$