Номер 5, страница 43, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5. Как определяется сдвиг фазы между напряжением и током аналитически и по векторной диаграмме?

Сдвиг фаз $\phi$ между синусоидальными напряжением и током в цепи переменного тока — это разность их начальных фаз. Если напряжение изменяется по закону $u(t) = U_m \sin(\omega t + \psi_u)$, а ток — по закону $i(t) = I_m \sin(\omega t + \psi_i)$, то сдвиг фаз определяется как $\phi = \psi_u - \psi_i$. Он показывает, на какой угол фаза напряжения опережает фазу тока (или отстает, если $\phi$ отрицателен). Определить этот сдвиг можно аналитически и графически (по векторной диаграмме).

Аналитическое определение

Аналитически сдвиг фаз определяется с помощью закона Ома для цепи переменного тока в комплексной форме. Комплексное полное сопротивление (импеданс) цепи $Z$ связывает комплексные действующие значения (или амплитуды) напряжения $\dot{U}$ и тока $\dot{I}$:

$\dot{U} = \dot{I} \cdot Z$

Импеданс $Z$ является комплексным числом $Z = R + jX$, где $R$ — активное сопротивление, а $X$ — реактивное сопротивление цепи. Сдвиг фаз $\phi$ между напряжением и током равен аргументу (фазе) комплексного числа $Z$.

Сдвиг фаз можно рассчитать через тангенс угла, который равен отношению мнимой части импеданса к его действительной части:

$\phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right) = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)$

Для последовательной RLC-цепи реактивное сопротивление $X$ равно разности индуктивного ($X_L = \omega L$) и емкостного ($X_C = \frac{1}{\omega C}$) сопротивлений: $X = X_L - X_C$. Тогда формула для сдвига фаз принимает вид:

$\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) = \arctan\left(\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}\right)$

• Если $X > 0$ (цепь носит индуктивный характер), то $\phi > 0$, и напряжение опережает ток по фазе.
• Если $X < 0$ (цепь носит емкостный характер), то $\phi < 0$, и напряжение отстает от тока по фазе (или ток опережает напряжение).
• Если $X = 0$ (резонанс напряжений), то $\phi = 0$, и напряжение и ток совпадают по фазе.

Ответ: Аналитически сдвиг фаз $\phi$ определяется как арктангенс отношения реактивного сопротивления $X$ к активному сопротивлению $R$ цепи: $\phi = \arctan(X/R)$.

Определение по векторной диаграмме

Векторная диаграмма — это графическое представление синусоидальных величин (токов, напряжений) в виде векторов на комплексной плоскости. Длина вектора пропорциональна действующему (или амплитудному) значению величины, а угол, который вектор образует с положительным направлением действительной оси, равен начальной фазе.

Для построения диаграммы, например, для последовательной RLC-цепи, обычно за основу принимают вектор тока $\vec{I}$, так как ток одинаков для всех элементов. Его направляют вдоль горизонтальной оси.

1. Вектор напряжения на резисторе $\vec{U}_R$ совпадает по фазе с током $\vec{I}$ и откладывается по той же горизонтальной оси. Его длина равна $U_R = I \cdot R$.
2. Вектор напряжения на индуктивности $\vec{U}_L$ опережает ток на 90° ($\pi/2$) и направлен вертикально вверх. Его длина равна $U_L = I \cdot X_L$.
3. Вектор напряжения на емкости $\vec{U}_C$ отстает от тока на 90° ($\pi/2$) и направлен вертикально вниз. Его длина равна $U_C = I \cdot X_C$.

Полное напряжение на цепи $\vec{U}$ находится как векторная сумма этих трех векторов: $\vec{U} = \vec{U}_R + \vec{U}_L + \vec{U}_C$.

Сдвиг фаз $\phi$ между полным напряжением $\vec{U}$ и током $\vec{I}$ — это угол между вектором $\vec{U}$ и вектором $\vec{I}$ (горизонтальной осью) на этой диаграмме.

Из получившегося треугольника напряжений (прямоугольного треугольника с катетами $U_R$ и $U_L - U_C$ и гипотенузой $U$) можно определить тангенс угла $\phi$:

$\tan(\phi) = \frac{U_L - U_C}{U_R}$

Подставив значения напряжений ($U_R = I \cdot R$, $U_L = I \cdot X_L$, $U_C = I \cdot X_C$), получим ту же формулу, что и в аналитическом методе:

$\tan(\phi) = \frac{I \cdot X_L - I \cdot X_C}{I \cdot R} = \frac{X_L - X_C}{R}$

Таким образом, сдвиг фаз $\phi$ можно либо измерить непосредственно на построенной в масштабе векторной диаграмме, либо рассчитать из геометрии диаграммы.

Ответ: По векторной диаграмме сдвиг фаз $\phi$ определяется как угол между вектором полного напряжения $\vec{U}$ и вектором тока $\vec{I}$.