Номер 2.4.2, страница 47, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 50 мкФ, катушки индуктивностью 25 мГн и активным сопротивлением 20 Ом. Определите частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре. (Ответ: 127 Гц.)

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 50 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 25 \text{ мГн}$

Активное сопротивление, $R = 20 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:

$C = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}$

$L = 25 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 2.5 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}$

Найти:

Частоту свободных электромагнитных колебаний, $\nu$ - ?

Решение:

Колебательный контур, содержащий активное сопротивление $R$, является затухающим. Частота свободных затухающих колебаний в таком контуре отличается от собственной частоты колебаний идеального контура (без сопротивления).

Циклическая частота свободных затухающих колебаний $\omega$ определяется формулой:

$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$

где $\omega_0$ - собственная циклическая частота колебаний контура (без учета затухания), а $\beta$ - коэффициент затухания.

Собственная циклическая частота $\omega_0$ вычисляется по формуле Томсона:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Коэффициент затухания $\beta$ для RLC-контура равен:

$\beta = \frac{R}{2L}$

Сначала вычислим квадрат собственной циклической частоты $\omega_0^2$:

$\omega_0^2 = \frac{1}{LC} = \frac{1}{2.5 \cdot 10^{-2} \text{ Гн} \cdot 5 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}} = \frac{1}{12.5 \cdot 10^{-7} \text{ с}^2} = 800000 \text{ (рад/с)}^2$

Теперь вычислим коэффициент затухания $\beta$:

$\beta = \frac{20 \text{ Ом}}{2 \cdot 2.5 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}} = \frac{20}{5 \cdot 10^{-2}} = 400 \text{ с}^{-1}$

Подставим найденные значения в формулу для циклической частоты затухающих колебаний $\omega$:

$\omega = \sqrt{800000 - (400)^2} = \sqrt{800000 - 160000} = \sqrt{640000} = 800 \text{ рад/с}$

Линейная частота колебаний $\nu$ связана с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi}$

Вычислим искомую частоту:

$\nu = \frac{800}{2\pi} \approx \frac{800}{2 \cdot 3.14159} \approx 127.32 \text{ Гц}$

Округляя до целого значения, получаем 127 Гц.

Ответ: 127 Гц.