Номер 2.4.8, страница 48, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.8. Конденсатор емкостью 1 мкФ, катушка индуктивностью 0,2 Гн и резистор включены последовательно в цепь переменного тока стандартной частоты. Найдите амплитуду напряжения на резисторе, если амплитуда силы тока в цепи составляет 3 А, а вольтметр, подключенный к концам цепи, показал напряжение 300 В. (Ответ: 385 В.)

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 1 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,2 \text{ Гн}$

Амплитуда силы тока, $I_m = 3 \text{ А}$

Действующее напряжение в цепи (показание вольтметра), $U = 300 \text{ В}$

Стандартная частота переменного тока, $f = 50 \text{ Гц}$

Примечание: В условии задачи, вероятнее всего, допущена опечатка. При емкости $C = 1 \text{ мкФ}$ реактивное сопротивление цепи оказывается значительно больше полного, что приводит к отсутствию физического решения (сопротивление $R$ получается мнимым). Решение сходится с ответом, если принять емкость равной $C = 1 \text{ мФ}$ (миллифарад). Дальнейшие расчеты проводятся с этим значением.

Перевод в систему СИ (с учетом исправления):

$C = 1 \text{ мФ} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}$

$L = 0,2 \text{ Гн}$

$I_m = 3 \text{ А}$

$U = 300 \text{ В}$

$f = 50 \text{ Гц}$

Найти:

Амплитуду напряжения на резисторе, $U_{Rm}$

Решение:

Амплитуда напряжения на резисторе ($U_{Rm}$) находится по закону Ома для участка цепи с активным сопротивлением $R$:

$U_{Rm} = I_m R$

Для нахождения $R$ необходимо определить полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ и реактивные сопротивления (индуктивное $X_L$ и емкостное $X_C$).

1. Найдем угловую частоту переменного тока:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с} \approx 314,16 \text{ рад/с}$

2. Рассчитаем индуктивное и емкостное сопротивления.

Индуктивное сопротивление катушки:

$X_L = \omega L = 100\pi \text{ рад/с} \cdot 0,2 \text{ Гн} = 20\pi \text{ Ом} \approx 62,83 \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление конденсатора (используя исправленное значение $C = 1 \text{ мФ}$):

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \text{ рад/с} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}} = \frac{10}{\pi} \text{ Ом} \approx 3,18 \text{ Ом}$

3. Найдем полное сопротивление цепи $Z$. Вольтметр измеряет действующее (среднеквадратичное) значение напряжения $U$. Связь между действующим значением тока $I$ и амплитудным $I_m$ выражается как $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.

По закону Ома для всей цепи:

$Z = \frac{U}{I} = \frac{U}{I_m / \sqrt{2}} = \frac{U\sqrt{2}}{I_m}$

Подставим значения:

$Z = \frac{300 \text{ В} \cdot \sqrt{2}}{3 \text{ А}} = 100\sqrt{2} \text{ Ом} \approx 141,42 \text{ Ом}$

4. Теперь можем найти активное сопротивление $R$. Полное сопротивление последовательной RLC-цепи связано с активным и реактивным сопротивлениями формулой:

$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$

Выразим $R$:

$R = \sqrt{Z^2 - (X_L - X_C)^2}$

Подставим числовые значения:

$R = \sqrt{(100\sqrt{2})^2 - (20\pi - \frac{10}{\pi})^2} \approx \sqrt{20000 - (62,83 - 3,18)^2}$

$R \approx \sqrt{20000 - (59,65)^2} = \sqrt{20000 - 3558,12} = \sqrt{16441,88} \approx 128,23 \text{ Ом}$

5. Наконец, найдем искомую амплитуду напряжения на резисторе:

$U_{Rm} = I_m R = 3 \text{ А} \cdot 128,23 \text{ Ом} \approx 384,69 \text{ В}$

Округляя результат до целого числа, получаем значение, совпадающее с ответом в задачнике.

Ответ: $U_{Rm} \approx 385 \text{ В}$.