Номер 2.4.9, страница 48, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.9. Катушка сопротивлением $10 \, \Omega$ и индуктивностью $\text{L}$ включена в цепь переменного тока частотой $50 \, Гц$. Определите индуктивность катушки, если известно, что сдвиг фаз между током и напряжением равен $60^{\circ}$. (Ответ: $0,055 \, Гн$.)

Дано:

Активное сопротивление катушки $R = 10$ Ом

Частота переменного тока $f = 50$ Гц

Сдвиг фаз между током и напряжением $\varphi = 60°$

Найти:

Индуктивность катушки $L$

Решение:

Катушка в цепи переменного тока представляет собой последовательное соединение активного сопротивления $R$ и индуктивности $L$. Для такой RL-цепи сдвиг фаз $\varphi$ между общим напряжением и током определяется соотношением активного ($R$) и реактивного ($X_L$) сопротивлений.

Тангенс угла сдвига фаз равен отношению индуктивного сопротивления к активному сопротивлению:

$ \text{tg} \varphi = \frac{X_L}{R} $

Индуктивное (реактивное) сопротивление $X_L$ катушки зависит от ее индуктивности $L$ и угловой частоты переменного тока $\omega$. Угловая частота связана с линейной частотой $f$ соотношением $\omega = 2 \pi f$.

Формула для индуктивного сопротивления:

$ X_L = \omega L = 2 \pi f L $

Подставим это выражение в формулу для тангенса угла сдвига фаз:

$ \text{tg} \varphi = \frac{2 \pi f L}{R} $

Из этого уравнения мы можем выразить искомую индуктивность $L$:

$ L = \frac{R \cdot \text{tg} \varphi}{2 \pi f} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$ R = 10 \text{ Ом} $

$ f = 50 \text{ Гц} $

$ \varphi = 60° $

Значение тангенса 60° является табличным: $ \text{tg} 60° = \sqrt{3} $.

Проведем вычисления:

$ L = \frac{10 \cdot \text{tg} 60°}{2 \pi \cdot 50} = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{100 \pi} = \frac{\sqrt{3}}{10 \pi} $

Для получения численного ответа используем приближенные значения $ \sqrt{3} \approx 1,732 $ и $ \pi \approx 3,1416 $:

$ L \approx \frac{1,732}{10 \cdot 3,1416} \approx \frac{1,732}{31,416} \approx 0,05513 \text{ Гн} $

Округляя результат, получаем индуктивность катушки.

Ответ: $ L \approx 0,055 $ Гн.