Номер 2.4.5, страница 47, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.5. Заряженный конденсатор емкостью $\text{C}$ подключен к двум параллельным катушкам с индуктивностями $L_1$ и $L_2$. После замыкания ключа $\text{K}$ максимальный ток в катушке $L_1$ стал равен $I_{m1}$. Найдите максимальный заряд $q_m$ на обкладках конденсатора в момент замыкания. Активным сопротивлением пренебречь. (Ответ: $q_m = I_{m1} \sqrt{CL_1 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right)}$.)

Дано:

Емкость конденсатора: $C$

Индуктивность первой катушки: $L_1$

Индуктивность второй катушки: $L_2$

Максимальный ток в первой катушке: $I_{m1}$

Активное сопротивление равно нулю ($R=0$).

Найти:

Максимальный заряд на обкладках конденсатора в момент замыкания: $q_m$

Решение:

В начальный момент времени ($t=0$), когда замыкается ключ, конденсатор полностью заряжен, и на его обкладках находится максимальный заряд $q_m$. Токи в катушках в этот момент равны нулю. Следовательно, вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Эта начальная энергия $W_{нач}$ равна:

$W_{нач} = \frac{q_m^2}{2C}$

После замыкания ключа в LC-контуре начинаются электромагнитные колебания. Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушек и обратно. В момент, когда ток в катушках достигает своего максимального значения, конденсатор полностью разряжен ($q=0$), и вся энергия системы сосредоточена в магнитных полях катушек.

Пусть максимальные значения токов в катушках с индуктивностями $L_1$ и $L_2$ равны $I_{m1}$ и $I_{m2}$ соответственно. Тогда полная энергия в этот момент $W_{кон}$ равна сумме энергий в двух параллельно соединенных катушках:

$W_{кон} = \frac{L_1 I_{m1}^2}{2} + \frac{L_2 I_{m2}^2}{2}$

Поскольку по условию активным сопротивлением можно пренебречь, полная электромагнитная энергия в контуре сохраняется. Приравнивая начальную энергию к энергии в момент максимального тока, получаем закон сохранения энергии для данного процесса:

$W_{нач} = W_{кон}$

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{L_1 I_{m1}^2}{2} + \frac{L_2 I_{m2}^2}{2}$

Умножив обе части на 2, получим:

$q_m^2 = C(L_1 I_{m1}^2 + L_2 I_{m2}^2)$

Для того чтобы найти $q_m$, необходимо выразить $I_{m2}$ через известные величины. Катушки $L_1$ и $L_2$ соединены параллельно, а это значит, что напряжение на них в любой момент времени одинаково:

$U_1(t) = U_2(t)$

Напряжение на катушке индуктивности (ЭДС самоиндукции) определяется формулой $U = L \frac{dI}{dt}$. Следовательно, для наших катушек:

$L_1 \frac{dI_1}{dt} = L_2 \frac{dI_2}{dt}$

Проинтегрируем это равенство по времени от начального момента $t=0$ (когда токи $I_1(0)=0$ и $I_2(0)=0$) до произвольного момента времени $t$:

$\int_0^t L_1 \frac{dI_1}{dt'} dt' = \int_0^t L_2 \frac{dI_2}{dt'} dt'$

$L_1 \int_{0}^{I_1(t)} dI_1 = L_2 \int_{0}^{I_2(t)} dI_2$

$L_1 I_1(t) = L_2 I_2(t)$

Это соотношение справедливо для любых моментов времени, в том числе и для момента, когда токи достигают своих максимальных значений:

$L_1 I_{m1} = L_2 I_{m2}$

Отсюда выразим максимальный ток во второй катушке $I_{m2}$:

$I_{m2} = I_{m1} \frac{L_1}{L_2}$

Подставим полученное выражение для $I_{m2}$ в уравнение для $q_m^2$:

$q_m^2 = C \left( L_1 I_{m1}^2 + L_2 \left( I_{m1} \frac{L_1}{L_2} \right)^2 \right)$

$q_m^2 = C \left( L_1 I_{m1}^2 + L_2 \frac{I_{m1}^2 L_1^2}{L_2^2} \right)$

$q_m^2 = C \left( L_1 I_{m1}^2 + \frac{I_{m1}^2 L_1^2}{L_2} \right)$

Вынесем за скобки общие множители $C$, $I_{m1}^2$ и $L_1$:

$q_m^2 = C I_{m1}^2 L_1 \left( 1 + \frac{L_1}{L_2} \right)$

Наконец, извлекая квадратный корень из обеих частей, находим искомый максимальный заряд $q_m$:

$q_m = \sqrt{C I_{m1}^2 L_1 \left( 1 + \frac{L_1}{L_2} \right)}$

$q_m = I_{m1} \sqrt{C L_1 \left( 1 + \frac{L_1}{L_2} \right)}$

Ответ: $q_m = I_{m1} \sqrt{CL_1 \left( 1 + \frac{L_1}{L_2} \right)}$