Номер 2.4.7, страница 47, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.7. Конденсатор емкостью $40 \text{ нФ}$ зарядили до напряжения $100 \text{ В}$ и замкнули на катушку индуктивностью $0,1 \text{ мГн}$. Считая сопротивление контура ничтожно малым, определите амплитуду силы тока в данном колебательном контуре. (Ответ: $2 \text{ А}.$)

Дано:

Емкость конденсатора, C = 40 нФ

Напряжение на конденсаторе, U = 100 В

Индуктивность катушки, L = 0,1 мГн

Сопротивление, R ≈ 0 Ом

Перевод в систему СИ:

C = 40 нФ = $40 \cdot 10^{-9}$ Ф

L = 0,1 мГн = $0,1 \cdot 10^{-3}$ Гн = $10^{-4}$ Гн

Найти:

Амплитуду силы тока, $I_m$.

Решение:

В колебательном контуре, сопротивление которого ничтожно мало, выполняется закон сохранения энергии. Полная энергия контура, сообщенная ему в начальный момент, остается постоянной. Эта энергия попеременно переходит из энергии электрического поля заряженного конденсатора в энергию магнитного поля катушки с током.

В начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения $U$, и вся энергия контура сосредоточена в его электрическом поле. Эта максимальная энергия электрического поля ($W_{C,max}$) равна:

$W_{C,max} = \frac{C U^2}{2}$

В тот момент, когда ток в контуре достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_m$, конденсатор полностью разряжен, и вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки. Эта максимальная энергия магнитного поля ($W_{L,max}$) равна:

$W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для идеального колебательного контура:

$W_{C,max} = W_{L,max}$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{C U^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$C U^2 = L I_m^2$

Отсюда выразим квадрат амплитуды тока:

$I_m^2 = \frac{C U^2}{L}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти амплитуду тока:

$I_m = \sqrt{\frac{C U^2}{L}} = U \sqrt{\frac{C}{L}}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ:

$I_m = 100 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{40 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}{10^{-4} \text{ Гн}}} = 100 \cdot \sqrt{40 \cdot 10^{-5}} \text{ А}$

Преобразуем выражение под корнем для удобства вычислений:

$I_m = 100 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^{-4}} \text{ А}$

Вычисляем значение:

$I_m = 100 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{10^{-4}}) = 100 \cdot (2 \cdot 10^{-2}) \text{ А}$

$I_m = 2 \text{ А}$

Ответ: 2 А.