Номер 2.4.10, страница 48, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.10. Катушка индуктивностью 0,0184 Гн и резистор $\text{R}$ соединены параллельно и включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найдите величину $\text{R}$, если известно, что сдвиг фаз между током и напряжением равен $60^\circ$. (Ответ: 10 Ом.)

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,0184$ Гн

Частота переменного тока $f = 50$ Гц

Сдвиг фаз между током и напряжением $φ = 60°$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление резистора $R$

Решение:

В цепи переменного тока с параллельно соединенными резистором $R$ и катушкой индуктивности $L$ напряжение $U$ на обоих элементах одинаково. Общий ток в цепи является векторной суммой тока через резистор $I_R$ и тока через катушку $I_L$.

Ток через резистор $I_R$ совпадает по фазе с напряжением $U$. Ток через катушку индуктивности $I_L$ отстает по фазе от напряжения на $90°$. Сдвиг фаз $φ$ между общим током и напряжением можно найти из векторной диаграммы токов. Тангенс угла сдвига фаз равен отношению амплитуды реактивной составляющей тока (тока в катушке) к активной составляющей (току в резисторе). Поскольку цепь содержит индуктивность, общий ток отстает от напряжения, и для расчетов используется модуль сдвига фаз $|φ| = 60°$. $tan(|φ|) = \frac{I_L}{I_R}$

Токи через элементы определяются по закону Ома для переменного тока: $I_R = \frac{U}{R}$ $I_L = \frac{U}{X_L}$ где $X_L$ – индуктивное сопротивление катушки.

Подставим выражения для токов в формулу для тангенса сдвига фаз: $tan(|φ|) = \frac{U/X_L}{U/R} = \frac{R}{X_L}$

Индуктивное сопротивление $X_L$ вычисляется по формуле: $X_L = ωL = 2πfL$

Рассчитаем индуктивное сопротивление: $X_L = 2 \cdot π \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,0184 \text{ Гн} = 100π \cdot 0,0184 \text{ Ом} = 1,84π \text{ Ом}$

Теперь можем найти сопротивление резистора $R$ из формулы для тангенса сдвига фаз: $R = X_L \cdot tan(|φ|)$

Подставляем числовые значения: $R = 1,84π \text{ Ом} \cdot tan(60°)$

Так как $tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем: $R = 1,84 \cdot π \cdot \sqrt{3} \text{ Ом} \approx 1,84 \cdot 3,14159 \cdot 1,732 \text{ Ом} \approx 10,01 \text{ Ом}$

Округляя результат, получаем искомое значение сопротивления.

Ответ: $R \approx 10$ Ом.