Номер 2.5.1, страница 51, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.5.1. К катушке индуктивности подведено напряжение, изменяющееся по закону $u = 100 \cos (100 \pi t)$. Амплитуда силы тока в катушке $I_m = 8 \text{ А}$, ее активное сопротивление $R = 2 \text{ Ом}$. Определите индуктивность катушки $\text{L}$, активную мощность тока в ней $\text{P}$ и коэффициент мощности $\cos \varphi$. (Ответ:9,3 Гн; 226 Вт; 0,565.)

Дано:

Закон изменения напряжения: $u = 100 \cos(100 \pi t)$ В

Амплитуда силы тока: $I_m = 8$ А

Активное сопротивление: $R = 2$ Ом

Из уравнения для напряжения находим амплитуду напряжения $U_m$ и угловую частоту $\omega$:

Амплитуда напряжения: $U_m = 100$ В

Угловая частота: $\omega = 100 \pi$ рад/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$L$ — ?, $P$ — ?, $\cos \varphi$ — ?

Решение:

Определение индуктивности катушки L

Полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ можно найти по закону Ома для амплитудных значений тока и напряжения:

$Z = \frac{U_m}{I_m} = \frac{100 \text{ В}}{8 \text{ А}} = 12,5 \text{ Ом}$

Импеданс катушки с активным сопротивлением связан с активным сопротивлением $R$ и индуктивным сопротивлением $X_L$ соотношением:

$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

Отсюда можно выразить индуктивное сопротивление $X_L$:

$X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{(12,5 \text{ Ом})^2 - (2 \text{ Ом})^2} = \sqrt{156,25 - 4} = \sqrt{152,25} \approx 12,34 \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление также определяется формулой $X_L = \omega L$. Выразим и найдем индуктивность $L$:

$L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{12,34 \text{ Ом}}{100 \pi \text{ рад/с}} \approx \frac{12,34}{314,16} \approx 0,039 \text{ Гн}$

Ответ: $L \approx 0,039 \text{ Гн}$

Определение активной мощности P

Активная мощность выделяется на активном сопротивлении. Она рассчитывается по формуле:

$P = I_{eff}^2 R$

где $I_{eff}$ — действующее (эффективное) значение силы тока. Оно связано с амплитудным значением $I_m$ как $I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.

Тогда формула для мощности принимает вид:

$P = \left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right)^2 R = \frac{I_m^2 R}{2}$

Подставим числовые значения:

$P = \frac{(8 \text{ А})^2 \cdot 2 \text{ Ом}}{2} = \frac{64 \cdot 2}{2} = 64 \text{ Вт}$

Ответ: $P = 64 \text{ Вт}$

Определение коэффициента мощности cos φ

Коэффициент мощности $\cos \varphi$ для RL-цепи определяется как отношение активного сопротивления $R$ к полному сопротивлению (импедансу) $Z$:

$\cos \varphi = \frac{R}{Z}$

Используя ранее найденное значение $Z = 12,5 \text{ Ом}$ и данное значение $R = 2 \text{ Ом}$, получаем:

$\cos \varphi = \frac{2 \text{ Ом}}{12,5 \text{ Ом}} = 0,16$

Ответ: $\cos \varphi = 0,16$