Номер 2.5.8, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.5.8. В цепи, как показано на схеме (рис. 2.5.2), подключены катушка, конденсатор и резисторы. Индуктивность катушки равна $15 \text{ мГн}$, емкость конденсатора составляет $20 \text{ мкФ}$, $R_1 = 10 \text{ Ом}$, $R_2 = 30 \text{ Ом}$. Напряжение источника равно $100 \text{ В}$, частота – $100 \text{ Гц}$. Определите: токи в цепи, активную, реактивную и полную мощности в цепи. (Ответ: $6,9 \text{ A}$; $7,27 \text{ A}$; $1,17 \text{ А}$; $570 \text{ Вт}$; $389 \text{ ВАр}$; $690 \text{ ВА}.$)

Рис. 2.5.2

Дано:

Индуктивность катушки $L = 15 \text{ мГн}$

Емкость конденсатора $C = 20 \text{ мкФ}$

Сопротивление $R_1 = 10 \text{ Ом}$

Сопротивление $R_2 = 30 \text{ Ом}$

Напряжение источника $U = 100 \text{ В}$

Частота $f = 100 \text{ Гц}$

Перевод в систему СИ:

$L = 15 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$C = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Токи в цепи: $I_1, I_2, I$

Активная мощность $P$

Реактивная мощность $Q$

Полная мощность $S$

Решение:

Цепь состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к источнику переменного напряжения. Напряжение на каждой ветви равно напряжению источника $U = 100 \text{ В}$.

Сначала определим угловую частоту переменного тока:

$\omega = 2\pi f = 2 \cdot \pi \cdot 100 \text{ Гц} \approx 628,32 \text{ рад/с}$

Теперь рассчитаем реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора.

Индуктивное сопротивление катушки:

$X_L = \omega L = 628,32 \text{ рад/с} \cdot 15 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \approx 9,42 \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление конденсатора:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{628,32 \text{ рад/с} \cdot 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 79,58 \text{ Ом}$

Токи в цепи

Найдем ток в первой ветви, состоящей из последовательно соединенных резистора $R_1$ и катушки $L$.

Полное сопротивление (импеданс) первой ветви:

$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_L^2} = \sqrt{(10 \text{ Ом})^2 + (9,42 \text{ Ом})^2} = \sqrt{100 + 88,74} = \sqrt{188,74} \approx 13,74 \text{ Ом}$

Ток в первой ветви (действующее значение):

$I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{100 \text{ В}}{13,74 \text{ Ом}} \approx 7,28 \text{ А}$

Для нахождения общего тока используем метод комплексных чисел. Примем вектор напряжения $\dot{U}$ совпадающим с действительной осью: $\dot{U} = 100 \text{ В}$.

Комплексное сопротивление первой ветви: $\dot{Z_1} = R_1 + jX_L = (10 + j9,42) \text{ Ом}$.

Комплексный ток в первой ветви:

$\dot{I_1} = \frac{\dot{U}}{\dot{Z_1}} = \frac{100}{10 + j9,42} = \frac{100(10 - j9,42)}{10^2 + 9,42^2} = \frac{1000 - j942}{188,74} \approx (5,30 - j4,99) \text{ А}$

Теперь найдем ток во второй ветви, состоящей из последовательно соединенных резистора $R_2$ и конденсатора $C$.

Полное сопротивление (импеданс) второй ветви:

$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_C^2} = \sqrt{(30 \text{ Ом})^2 + (79,58 \text{ Ом})^2} = \sqrt{900 + 6333} = \sqrt{7233} \approx 85,05 \text{ Ом}$

Ток во второй ветви (действующее значение):

$I_2 = \frac{U}{Z_2} = \frac{100 \text{ В}}{85,05 \text{ Ом}} \approx 1,18 \text{ А}$

Комплексное сопротивление второй ветви: $\dot{Z_2} = R_2 - jX_C = (30 - j79,58) \text{ Ом}$.

Комплексный ток во второй ветви:

$\dot{I_2} = \frac{\dot{U}}{\dot{Z_2}} = \frac{100}{30 - j79,58} = \frac{100(30 + j79,58)}{30^2 + 79,58^2} = \frac{3000 + j7958}{7233} \approx (0,41 + j1,10) \text{ А}$

Общий ток в цепи равен векторной (комплексной) сумме токов в параллельных ветвях:

$\dot{I} = \dot{I_1} + \dot{I_2} = (5,30 - j4,99) + (0,41 + j1,10) = (5,71 - j3,89) \text{ А}$

Действующее значение общего тока:

$I = |\dot{I}| = \sqrt{5,71^2 + (-3,89)^2} = \sqrt{32,60 + 15,13} = \sqrt{47,73} \approx 6,91 \text{ А}$

Ответ: Ток в первой ветви $I_1 \approx 7,28 \text{ А}$, ток во второй ветви $I_2 \approx 1,18 \text{ А}$, общий ток в цепи $I \approx 6,91 \text{ А}$.

Активную, реактивную и полную мощности в цепи

Активная мощность $P$ — это сумма активных мощностей в обеих ветвях. Она выделяется на резисторах.

$P_1 = I_1^2 R_1 = (7,28 \text{ А})^2 \cdot 10 \text{ Ом} \approx 530 \text{ Вт}$

$P_2 = I_2^2 R_2 = (1,18 \text{ А})^2 \cdot 30 \text{ Ом} \approx 41,8 \text{ Вт}$

Общая активная мощность:

$P = P_1 + P_2 = 530 \text{ Вт} + 41,8 \text{ Вт} = 571,8 \text{ Вт}$

Реактивная мощность $Q$ — это алгебраическая сумма реактивных мощностей в ветвях. Мощность катушки индуктивности считается положительной, а конденсатора — отрицательной.

$Q_1 = I_1^2 X_L = (7,28 \text{ А})^2 \cdot 9,42 \text{ Ом} \approx 499,3 \text{ ВАр}$

$Q_2 = -I_2^2 X_C = -(1,18 \text{ А})^2 \cdot 79,58 \text{ Ом} \approx -110,6 \text{ ВАр}$

Общая реактивная мощность:

$Q = Q_1 + Q_2 = 499,3 \text{ ВАр} - 110,6 \text{ ВАр} = 388,7 \text{ ВАр}$

Так как $Q > 0$, цепь в целом имеет индуктивный характер.

Полная мощность $S$ может быть найдена по теореме Пифагора для мощностей или как произведение общего тока на напряжение.

Способ 1: $S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{(571,8 \text{ Вт})^2 + (388,7 \text{ ВАр})^2} = \sqrt{326955 + 151088} = \sqrt{478043} \approx 691,4 \text{ ВА}$

Способ 2: $S = U \cdot I = 100 \text{ В} \cdot 6,91 \text{ А} = 691 \text{ ВА}$

Небольшие расхождения в результатах обусловлены округлением в промежуточных вычислениях. Значения близки к приведенным в задаче ответам.

Ответ: Активная мощность $P \approx 572 \text{ Вт}$, реактивная мощность $Q \approx 389 \text{ ВАр}$, полная мощность $S \approx 691 \text{ ВА}$.