Номер 2.5.2, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.5.2. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления $R = 4 \text{ Ом}$, катушки $L = 6,37 \text{ мГн}$ и конденсатора $C = 159 \text{ мкФ}$; она питается от источника синусоидального тока с частотой $200 \text{ Гц}$ и напряжением $120 \text{ В}$. Вычислите ток в цепи, напряжение на всех участках, активную, реактивную и полную мощности. (Ответ: $24 \text{ А}$; $96 \text{ В}$; $32 \text{ В}$; $20 \text{ В}$; $2304 \text{ Вт}$; $2880 \text{ ВАр}$; $2880 \text{ ВА}$.)

Дано:

Сопротивление $R = 4$ Ом

Индуктивность $L = 6,37$ мГн

Емкость $C = 159$ мкФ

Частота $f = 200$ Гц

Напряжение источника $U = 120$ В

$L = 6,37 \text{ мГн} = 6,37 \cdot 10^{-3}$ Гн

$C = 159 \text{ мкФ} = 159 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

Ток в цепи $I$

Напряжение на участках $U_R, U_L, U_C$

Активную мощность $P$

Реактивную мощность $Q$

Полную мощность $S$

Решение:

Ток в цепи

Сначала найдем угловую частоту переменного тока: $ \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 200 = 400 \pi $ рад/с.

Затем рассчитаем индуктивное и емкостное сопротивления. Заданные значения индуктивности и емкости подобраны так, чтобы получить целочисленные значения сопротивлений.

Индуктивное сопротивление катушки: $ X_L = \omega L = 400 \pi \cdot 6,37 \cdot 10^{-3} \approx 8,00 $ Ом.

Емкостное сопротивление конденсатора: $ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \pi \cdot 159 \cdot 10^{-6}} \approx 5,00 $ Ом.

Далее определим полное сопротивление цепи (импеданс): $ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{4^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $ Ом.

Теперь вычислим ток в цепи по закону Ома для цепи переменного тока: $ I = \frac{U}{Z} = \frac{120 \text{ В}}{5 \text{ Ом}} = 24 $ А.

Ответ: ток в цепи равен 24 А.

Напряжение на всех участках

Напряжение на каждом элементе цепи находится по закону Ома для соответствующего участка.

Напряжение на активном сопротивлении (резисторе): $ U_R = I \cdot R = 24 \text{ А} \cdot 4 \text{ Ом} = 96 $ В.

Напряжение на индуктивности (катушке): $ U_L = I \cdot X_L = 24 \text{ А} \cdot 8 \text{ Ом} = 192 $ В.

Напряжение на емкости (конденсаторе): $ U_C = I \cdot X_C = 24 \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} = 120 $ В.

Ответ: напряжение на сопротивлении $U_R = 96$ В, на катушке $U_L = 192$ В, на конденсаторе $U_C = 120$ В.

Активная, реактивная и полная мощности

Активная мощность выделяется только на активном сопротивлении. $ P = I^2 R = (24 \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} = 576 \cdot 4 = 2304 $ Вт.

Реактивная мощность определяется разностью индуктивного и емкостного сопротивлений. $ Q = I^2 (X_L - X_C) = (24 \text{ А})^2 \cdot (8 \text{ Ом} - 5 \text{ Ом}) = 576 \cdot 3 = 1728 $ ВАр.

Полная мощность, потребляемая цепью от источника, может быть найдена как произведение напряжения и тока. $ S = U \cdot I = 120 \text{ В} \cdot 24 \text{ А} = 2880 $ ВА.

Для проверки можно использовать соотношение мощностей: $ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{2304^2 + 1728^2} = \sqrt{5308416 + 2985984} = \sqrt{8294400} = 2880 $ ВА. Расчеты верны.

Ответ: активная мощность $P = 2304$ Вт, реактивная мощность $Q = 1728$ ВАр, полная мощность $S = 2880$ ВА.