Номер 2.5.9, страница 53, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.5.9. В электрическую цепь переменного тока напряжением 220 В, частотой 50 Гц включена катушка индуктивностью 25,5 мГн и активным сопротивлением $R_A = 6$ Ом; $I = 22$ А; $U_A = 132$ В; $\cos \varphi = 0,6$. Определите: максимальную мощность в активном сопротивлении; активную мощность; реактивную мощность; полную мощность. (Ответ: 5808 Вт; 2904 Вт; 3872 ВАр; 4840 ВА.)

Рис. 2.5.3

Дано:

Напряжение сети $U = 220$ В

Частота тока $f = 50$ Гц

Индуктивность катушки $L = 25,5$ мГн

Активное сопротивление катушки $R_a = 6$ Ом

Сила тока в цепи $I = 22$ А

Напряжение $U_a = 132$ В (напряжение на активном сопротивлении катушки, т.к. $I \cdot R_a = 22 \text{ А} \cdot 6 \text{ Ом} = 132$ В)

Коэффициент мощности $\cos\phi = 0,6$

Перевод в систему СИ:

$L = 25,5 \text{ мГн} = 25,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0,0255 \text{ Гн}$

Найти:

$P_{a,max}$ — максимальную мощность в активном сопротивлении

$P$ — активную мощность

$Q$ — реактивную мощность

$S$ — полную мощность

Решение:

максимальную мощность в активном сопротивлении

Мгновенная мощность в активном сопротивлении определяется выражением $p_a(t) = i(t)^2 R_a$, где $i(t)$ — мгновенное значение тока. Максимальная мощность достигается при максимальном (амплитудном) значении тока $I_{max}$. Амплитудное значение тока связано с его действующим (среднеквадратичным) значением $I$ соотношением $I_{max} = I\sqrt{2}$.

Найдем амплитудное значение тока:

$I_{max} = 22 \text{ А} \cdot \sqrt{2} \approx 31,11 \text{ А}$

Максимальная мгновенная мощность в активном сопротивлении равна:

$P_{a,max} = I_{max}^2 \cdot R_a = (I\sqrt{2})^2 \cdot R_a = 2 I^2 R_a$

Подставим числовые значения:

$P_{a,max} = 2 \cdot (22 \text{ А})^2 \cdot 6 \text{ Ом} = 2 \cdot 484 \cdot 6 = 5808$ Вт.

Ответ: 5808 Вт.

активную мощность

Активная мощность (средняя за период мощность) в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Её можно рассчитать по формуле $P = I^2 R_a$.

$P = (22 \text{ А})^2 \cdot 6 \text{ Ом} = 484 \cdot 6 = 2904$ Вт.

Также активную мощность можно вычислить по формуле $P = U I \cos\phi$:

$P = 220 \text{ В} \cdot 22 \text{ А} \cdot 0,6 = 4840 \cdot 0,6 = 2904$ Вт.

Результаты совпадают.

Ответ: 2904 Вт.

реактивную мощность

Реактивная мощность обусловлена наличием в цепи реактивных элементов (в данном случае индуктивности). Её можно рассчитать по формуле $Q = U I \sin\phi$.

Сначала найдем $\sin\phi$, зная $\cos\phi = 0,6$. Для индуктивной нагрузки $0 < \phi < 90^\circ$, поэтому $\sin\phi > 0$.

$\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Теперь вычислим реактивную мощность:

$Q = 220 \text{ В} \cdot 22 \text{ А} \cdot 0,8 = 4840 \cdot 0,8 = 3872$ ВАр.

Альтернативно, можно найти $Q$ через индуктивное сопротивление $X_L$. Полное сопротивление цепи $Z = \frac{U}{I} = \frac{220 \text{ В}}{22 \text{ А}} = 10$ Ом. Из треугольника сопротивлений $X_L = \sqrt{Z^2 - R_a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ Ом. Тогда:

$Q = I^2 X_L = (22 \text{ А})^2 \cdot 8 \text{ Ом} = 484 \cdot 8 = 3872$ ВАр.

Ответ: 3872 ВАр.

полную мощность

Полная (кажущаяся) мощность — это произведение действующих значений напряжения и тока в цепи.

$S = U I$

$S = 220 \text{ В} \cdot 22 \text{ А} = 4840$ ВА.

Полную мощность также можно найти из активной и реактивной мощностей по формуле $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$:

$S = \sqrt{2904^2 + 3872^2} = \sqrt{8433216 + 14992384} = \sqrt{23425600} = 4840$ ВА.

Ответ: 4840 ВА.