Номер 2, страница 57, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. По какой аналитической формуле определяются напряжение и сила тока при электрическом резонансе?

Электрический резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока или напряжения в электрической цепи, содержащей индуктивность $L$ и ёмкость $C$. Резонанс наступает, когда частота $\omega$ переменного тока в цепи совпадает с собственной частотой колебательного контура $\omega_0$.

Аналитически условие резонанса выражается равенством индуктивного $X_L$ и ёмкостного $X_C$ сопротивлений:

$X_L = X_C \implies \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$

Отсюда находится резонансная угловая частота:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Формулы для тока и напряжения зависят от типа резонансного контура: последовательного или параллельного.

Резонанс напряжений (последовательный RLC-контур)

В последовательном контуре элементы R, L, и C соединены последовательно с источником ЭДС $u(t) = U_m \sin(\omega t)$. При резонансе ($\omega = \omega_0$) реактивные сопротивления катушки и конденсатора компенсируют друг друга. Полное сопротивление цепи (импеданс) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ становится минимальным и равным активному сопротивлению:

$Z_{res} = R$

Формула для силы тока: Поскольку импеданс минимален, амплитуда силы тока в цепи достигает своего максимального значения. Колебания тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения источника. Амплитуда тока определяется по закону Ома: $I_{m, res} = \frac{U_m}{R}$. Мгновенное значение силы тока в цепи при резонансе: $i(t) = \frac{U_m}{R} \sin(\omega_0 t)$.

Формулы для напряжений: Напряжение на активном сопротивлении $u_R(t)$ совпадает по фазе и амплитуде с напряжением источника $u(t)$, так как падения напряжения на L и C равны по модулю и противофазны, взаимно уничтожаясь: $U_{R,m} = I_{m, res} \cdot R = U_m$. Амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы, но могут значительно превышать амплитуду напряжения источника: $U_{L,m} = I_{m, res} \cdot X_L = \frac{U_m}{R} \omega_0 L$ и $U_{C,m} = I_{m, res} \cdot X_C = \frac{U_m}{R \omega_0 C}$. Это превышение характеризуется добротностью контура $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R\omega_0 C} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$. Таким образом, напряжения на реактивных элементах выражаются через добротность: $U_{L,m} = U_{C,m} = Q \cdot U_m$.

Резонанс токов (параллельный RLC-контур)

В идеальном параллельном контуре (ветви с L и C) полное сопротивление стремится к бесконечности. В реальном контуре, где учитываются потери (представленные параллельно подключенным резистором R), импеданс при резонансе становится максимальным и равным $R$. Рассмотрим случай, когда контур питается от источника тока $i(t) = I_m \sin(\omega t)$. Импеданс цепи при резонансе максимален: $Z_{res} = R$.

Формула для напряжения: Поскольку импеданс максимален, амплитуда напряжения на контуре достигает своего максимального значения. Колебания напряжения совпадают по фазе с током источника: $U_{m, res} = I_m \cdot R$. Мгновенное значение напряжения: $u(t) = I_m R \sin(\omega_0 t)$.

Формулы для сил токов: Ток, протекающий через активное сопротивление, равен току источника: $I_{R,m} = \frac{U_{m,res}}{R} = I_m$. Амплитуды токов в ветвях с индуктивностью и ёмкостью равны между собой, но могут быть значительно больше тока источника. Они находятся в противофазе и компенсируют друг друга: $I_{L,m} = \frac{U_{m, res}}{X_L} = \frac{I_m R}{\omega_0 L}$ и $I_{C,m} = \frac{U_{m, res}}{X_C} = I_m R \omega_0 C$. Отношение этих токов к току источника определяется добротностью $Q = \frac{R}{\omega_0 L} = R\omega_0 C = R\sqrt{\frac{C}{L}}$. Таким образом, токи в реактивных ветвях выражаются через добротность: $I_{L,m} = I_{C,m} = Q \cdot I_m$.

Ответ:

При электрическом резонансе, наступающем на частоте $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, аналитические формулы для напряжения и силы тока следующие:

1. Для последовательного резонанса (резонанс напряжений): амплитуда силы тока в цепи максимальна, $I_{m, res} = \frac{U_m}{R}$; амплитуды напряжений на индуктивности и ёмкости равны, $U_{L,m} = U_{C,m} = Q \cdot U_m$, где $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ – добротность.

2. Для параллельного резонанса (резонанс токов): амплитуда напряжения на контуре максимальна, $U_{m, res} = I_m \cdot R$; амплитуды токов в реактивных ветвях равны, $I_{L,m} = I_{C,m} = Q \cdot I_m$, где $Q = R\sqrt{\frac{C}{L}}$ – добротность.