Номер 2.6.2, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.2. В цепь включены конденсатор емкостью $2 \text{ мкФ}$ и катушка индуктивностью $0,005 \text{ Гн}$. При какой частоте тока в этой цепи будет резонанс? (Ответ: $1,6 \text{ кГц}$.)

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 2 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,005 \text{ Гн}$

$C = 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

$L = 0,005 \text{ Гн} = 5 \times 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

Резонансная частота, $\nu$ - ?

Решение:

Резонанс в электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (колебательный контур), наступает при такой частоте переменного тока, при которой реактивное сопротивление катушки индуктивности $X_L$ становится равным реактивному сопротивлению конденсатора $X_C$.

$X_L = X_C$

Индуктивное сопротивление $X_L$ и емкостное сопротивление $X_C$ определяются по формулам:

$X_L = \omega L = 2\pi\nu L$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$

где $\omega$ - циклическая (угловая) частота, $\nu$ - линейная частота, $L$ - индуктивность катушки, а $C$ - емкость конденсатора.

Приравнивая индуктивное и емкостное сопротивления, получаем условие для резонансной частоты:

$2\pi\nu L = \frac{1}{2\pi\nu C}$

Из этого соотношения выразим резонансную частоту $\nu$:

$(2\pi\nu)^2 = \frac{1}{LC}$

$2\pi\nu = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Эта формула называется формулой Томсона.

Подставим в формулу числовые значения величин в системе СИ:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}}}$

Вычислим произведение $LC$:

$LC = (5 \times 10^{-3}) \cdot (2 \times 10^{-6}) = 10 \times 10^{-9} = 10^{-8} \text{ с}^2$

Теперь извлечем квадратный корень из этого значения:

$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-8} \text{ с}^2} = 10^{-4} \text{ с}$

Подставим полученное значение обратно в формулу для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}} = \frac{10^4}{2\pi} \text{ Гц}$

Примем значение $\pi \approx 3,1416$:

$\nu \approx \frac{10000}{2 \cdot 3,1416} \approx \frac{10000}{6,2832} \approx 1591,5 \text{ Гц}$

Для удобства переведем результат в килогерцы (кГц), разделив на 1000:

$\nu \approx 1,5915 \text{ кГц}$

Округлив результат до двух значащих цифр (согласно данным задачи), получаем значение, которое совпадает с ответом в условии.

$\nu \approx 1,6 \text{ кГц}$

Ответ: резонанс в цепи наступит при частоте тока примерно $1,6 \text{ кГц}$.