Номер 2.6.7, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.7. В цепь переменного тока с напряжением 220 В стандартной частоты включены последовательно конденсатор, резистор сопротивлением 100 $\text{Ом}$ и катушка индуктивностью 1 Гн. При какой емкости конденсатора $\text{C}$ в этой цепи наступит резонанс напряжений? Какова максимальная сила тока $I_m$ при резонансе? Чему равны добротность цепи $\text{Q}$ и ее волновое сопротивление $\rho$? (Ответ: $10^{-5}$ Ф; 3,1 А; 3,2; 316 $\text{Ом}$.)

Дано:

Напряжение (действующее) $U = 220$ В

Стандартная частота $f = 50$ Гц

Сопротивление резистора $R = 100$ Ом

Индуктивность катушки $L = 1$ Гн

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$C$ — ?

$I_m$ — ?

$Q$ — ?

$\rho$ — ?

Решение:

При какой емкости конденсатора С в этой цепи наступит резонанс напряжений?

Резонанс напряжений в последовательном RLC-контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно емкостному сопротивлению $X_C$.

$X_L = X_C$

Индуктивное сопротивление определяется формулой $X_L = \omega L$, а емкостное — $X_C = \frac{1}{\omega C}$, где $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

Циклическая частота связана со стандартной частотой $f$ соотношением: $\omega = 2\pi f$.

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с} \approx 314,16 \text{ рад/с}$.

Из условия резонанса $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ выразим искомую емкость $C$:

$C = \frac{1}{\omega^2 L}$

Подставим числовые значения:

$C = \frac{1}{(100\pi)^2 \cdot 1} = \frac{1}{10000\pi^2} \approx \frac{1}{10000 \cdot 9,8696} \approx 1,013 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}$.

Округляя, получаем $1 \cdot 10^{-5}$ Ф.

Ответ: $C \approx 10^{-5}$ Ф.

Какова максимальная сила тока $I_m$ при резонансе?

При резонансе полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ минимально и равно активному сопротивлению $R$, так как реактивные сопротивления $X_L$ и $X_C$ компенсируют друг друга:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R = 100$ Ом.

Действующее (эффективное) значение силы тока в цепи по закону Ома:

$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{220 \text{ В}}{100 \text{ Ом}} = 2,2 \text{ А}$.

Максимальная (амплитудная) сила тока $I_m$ связана с действующим значением $I$ соотношением: $I_m = I \sqrt{2}$.

$I_m = 2,2 \cdot \sqrt{2} \approx 2,2 \cdot 1,414 \approx 3,11 \text{ А}$.

Ответ: $I_m \approx 3,1$ А.

Чему равны добротность цепи Q?

Добротность $Q$ последовательного колебательного контура показывает, во сколько раз напряжение на катушке (или конденсаторе) при резонансе превышает напряжение на входе цепи. Она рассчитывается по формуле:

$Q = \frac{\omega L}{R}$

Подставим значения:

$Q = \frac{100\pi \text{ рад/с} \cdot 1 \text{ Гн}}{100 \text{ Ом}} = \pi \approx 3,14159$.

Округляя до десятых, получаем 3,1. Значение 3,2 в ответе задачника является округлением числа $\pi$.

Ответ: $Q \approx 3,14$ (или 3,2, как в ответе задачника).

и ее волновое сопротивление $\rho$?

Волновое сопротивление колебательного контура определяется по формуле:

$\rho = \sqrt{\frac{L}{C}}$

Подставим значения $L$ и вычисленное значение $C$:

$\rho = \sqrt{\frac{1 \text{ Гн}}{1,013 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}}} \approx \sqrt{98696} \approx 314,16 \text{ Ом}$.

Также можно заметить, что $\rho = \sqrt{\frac{L}{1/(\omega^2 L)}} = \sqrt{\omega^2 L^2} = \omega L$.

$\rho = 100\pi \cdot 1 \approx 314,16$ Ом.

Значение 316 Ом, указанное в ответе из задачника, является результатом округления (например, при использовании $\pi \approx 3,16$).

Ответ: $\rho \approx 314$ Ом (или 316 Ом, как в ответе задачника).