Номер 2.6.10, страница 60, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.10. Катушка с активным сопротивлением $20\ \text{Ом}$ и индуктивностью $0,0637\ \text{Гн}$ соединена параллельно с конденсатором емкостью $65\ \mu\text{Ф}$ (рис. 2.6.3). Определите: токи в ветвях и в неразветвленной части цепи; активные мощности ветвей; углы сдвига фаз между током и напряжением первой и второй ветвей и всей цепи, если к цепи приложено напряжение $100\ \text{В}$, частота тока равна $50\ \text{Гц}$. Как нужно изменить емкость во второй ветви, чтобы в цепи наступил резонанс токов? (Ответ: $I_1 = 3,5\ \text{А}$; $I_2 = 2,04\ \text{А}$; $I = 2,54\ \text{А}$; $P_1 = 250\ \text{Вт}$; $P_2 = 0$; $\varphi_1 = 45^\circ$; $\varphi_2 = 90^\circ$; $\varphi = 10^\circ$; $C = 79,6\ \mu\text{Ф}$.)

Рис. 2.6.3

Дано

R = 20 Ом

L = 0,0637 Гн

C = 65 мкФ = 65 · 10⁻⁶ Ф

U = 100 В

f = 50 Гц

Найти:

I₁, I₂, I, P₁, P₂, φ₁, φ₂, φ, C_рез - ?

Решение

Сначала определим угловую частоту переменного тока:

$ω = 2πf = 2π \cdot 50 = 100π \text{ рад/с} \approx 314,16 \text{ рад/с}$

Рассмотрим каждую ветвь цепи отдельно.

1. Первая ветвь (последовательное соединение резистора R и катушки L):

Индуктивное сопротивление катушки:

$X_L = ωL = 100π \cdot 0,0637 \text{ Гн} \approx 20 \text{ Ом}$

Полное сопротивление первой ветви (импеданс):

$Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \approx 28,28 \text{ Ом}$

2. Вторая ветвь (конденсатор C):

Емкостное сопротивление конденсатора:

$X_C = \frac{1}{ωC} = \frac{1}{100π \cdot 65 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 48,97 \text{ Ом}$

Теперь можно определить требуемые величины.

токи в ветвях и в неразветвленной части цепи

Ток в первой ветви:

$I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{100 \text{ В}}{28,28 \text{ Ом}} \approx 3,54 \text{ А}$

Ток во второй ветви:

$I_2 = \frac{U}{X_C} = \frac{100 \text{ В}}{48,97 \text{ Ом}} \approx 2,04 \text{ А}$

Для нахождения общего тока в неразветвленной части цепи необходимо векторно сложить токи в ветвях. Удобнее это сделать, используя метод проводимостей. Напряжение U — общая величина для параллельных ветвей, примем его фазу за ноль.

Активная проводимость первой ветви:

$g_1 = \frac{R}{Z_1^2} = \frac{20}{800} = 0,025 \text{ См}$

Реактивная (индуктивная) проводимость первой ветви:

$b_L = \frac{X_L}{Z_1^2} = \frac{20}{800} = 0,025 \text{ См}$

Реактивная (емкостная) проводимость второй ветви:

$b_C = \frac{1}{X_C} = \frac{1}{48,97} \approx 0,0204 \text{ См}$

Общая активная проводимость цепи $G = g_1 = 0,025 \text{ См}$.

Общая реактивная проводимость цепи $B = b_C - b_L = 0,0204 - 0,025 = -0,0046 \text{ См}$. Знак минус означает, что цепь имеет индуктивный характер.

Полная проводимость цепи (адмиттанс):

$Y = \sqrt{G^2 + B^2} = \sqrt{0,025^2 + (-0,0046)^2} \approx \sqrt{0,000625 + 0,000021} \approx 0,0254 \text{ См}$

Общий ток в цепи:

$I = U \cdot Y = 100 \text{ В} \cdot 0,0254 \text{ См} = 2,54 \text{ А}$

Ответ: Ток в первой ветви $I_1 \approx 3,54 \text{ А}$, ток во второй ветви $I_2 \approx 2,04 \text{ А}$, ток в неразветвленной части цепи $I = 2,54 \text{ А}$.

активные мощности ветвей

Активная мощность, потребляемая первой ветвью:

$P_1 = I_1^2 R = (3,54 \text{ А})^2 \cdot 20 \text{ Ом} \approx 12,53 \cdot 20 \approx 250,6 \text{ Вт}$

Или точнее: $P_1 = U \cdot I_1 \cos{φ_1} = 100 \cdot (\frac{5}{\sqrt{2}}) \cdot \cos{45°} = 100 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 250 \text{ Вт}$.

Активная мощность, потребляемая второй ветвью (идеальный конденсатор), равна нулю, так как в ней нет активного сопротивления.

$P_2 = 0 \text{ Вт}$

Ответ: Активная мощность первой ветви $P_1 = 250 \text{ Вт}$, активная мощность второй ветви $P_2 = 0 \text{ Вт}$.

углы сдвига фаз между током и напряжением первой и второй ветвей и всей цепи

Угол сдвига фаз в первой ветви:

$\text{tg } φ_1 = \frac{X_L}{R} = \frac{20}{20} = 1 \implies φ_1 = \text{arctg}(1) = 45°$

В индуктивной ветви ток отстает от напряжения, поэтому сдвиг фаз положителен ($φ_1 = 45°$).

Угол сдвига фаз во второй ветви (идеальный конденсатор):

$φ_2 = 90°$

В емкостной ветви ток опережает напряжение на 90°.

Угол сдвига фаз для всей цепи:

$\text{tg } φ = \frac{B}{G} = \frac{-0,0046}{0,025} = -0,184 \implies φ = \text{arctg}(-0,184) \approx -10,4°$

Знак "минус" указывает, что общий ток отстает от напряжения (цепь носит индуктивный характер). По модулю угол равен $10,4°$.

Ответ: Угол сдвига фаз в первой ветви $φ_1 = 45°$, во второй ветви $φ_2 = 90°$, для всей цепи $|φ| \approx 10,4°$.

Как нужно изменить емкость во второй ветви, чтобы в цепи наступил резонанс токов?

Резонанс токов в параллельной цепи наступает, когда реактивные проводимости ветвей равны по величине и противоположны по знаку, то есть их сумма равна нулю. Общая реактивная проводимость цепи $B = b_C - b_L = 0$.

Отсюда, $b_C = b_L$.

Мы уже вычислили индуктивную проводимость: $b_L = 0,025 \text{ См}$.

Для резонанса требуется, чтобы емкостная проводимость $b_C_рез$ была равна этому значению.

$b_C_рез = ωC_{рез} = 0,025 \text{ См}$

Найдем новую емкость $C_{рез}$:

$C_{рез} = \frac{b_L}{ω} = \frac{0,025 \text{ См}}{100π \text{ рад/с}} \approx 7,96 \cdot 10^{-5} \text{ Ф} = 79,6 \text{ мкФ}$

Таким образом, для наступления резонанса токов необходимо увеличить емкость конденсатора с 65 мкФ до 79,6 мкФ.

Ответ: Емкость во второй ветви нужно установить равной $C_{рез} \approx 79,6 \text{ мкФ}$.