Номер 2.6.6, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.6. Резонансная частота колебательного контура, состоящего из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности, равна 4 кГц. Определите индуктивность катушки, если полное сопротивление, оказываемое этим контуром переменному току частотой 1 кГц, равно 1 кОм, а активное сопротивление катушки — 10 Ом. (Ответ: 10 Гн.)

Дано:

Резонансная частота $f_0 = 4$ кГц

Частота переменного тока $f_1 = 1$ кГц

Полное сопротивление при частоте $f_1$, $Z_1 = 1$ кОм

Активное сопротивление катушки $R = 10$ Ом

Перевод в систему СИ:

$f_0 = 4 \times 10^3$ Гц

$f_1 = 1 \times 10^3$ Гц

$Z_1 = 1 \times 10^3$ Ом

$R = 10$ Ом

Найти:

Индуктивность катушки $L$.

Решение:

Резонансная угловая частота $\omega_0$ для последовательного колебательного контура определяется формулой Томсона:

$\omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – емкость конденсатора. Из этой формулы можно выразить емкость $C$ через индуктивность $L$ и резонансную частоту:

$\omega_0^2 = \frac{1}{LC} \implies C = \frac{1}{\omega_0^2 L}$

Полное сопротивление (импеданс) $Z$ последовательного колебательного контура для переменного тока с угловой частотой $\omega$ вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

где $R$ – активное сопротивление, $X_L = \omega L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ – емкостное сопротивление.

Для частоты $f_1$ (и соответствующей ей угловой частоты $\omega_1 = 2\pi f_1$) полное сопротивление $Z_1$ равно:

$Z_1 = \sqrt{R^2 + \left(\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 C}\right)^2}$

Подставим в это выражение емкость $C$, выраженную через $L$:

$Z_1 = \sqrt{R^2 + \left(\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 \left(\frac{1}{\omega_0^2 L}\right)}\right)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega_1 L - \frac{\omega_0^2 L}{\omega_1}\right)^2}$

Вынесем $L$ за скобки в выражении для реактивного сопротивления:

$Z_1 = \sqrt{R^2 + L^2\left(\omega_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим индуктивность $L$:

$Z_1^2 = R^2 + L^2\left(\omega_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right)^2$

$L^2\left(\omega_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right)^2 = Z_1^2 - R^2$

$L = \frac{\sqrt{Z_1^2 - R^2}}{\left|\omega_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right|}$

Рассчитаем числовые значения. Сначала угловые частоты:

$\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 8\pi \cdot 10^3$ рад/с

$\omega_1 = 2\pi f_1 = 2\pi \cdot 1 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 2\pi \cdot 10^3$ рад/с

Подставим значения в формулу для $L$.

Значение в знаменателе:

$\left|\omega_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right| = \left|2\pi \cdot 10^3 - \frac{(8\pi \cdot 10^3)^2}{2\pi \cdot 10^3}\right| = \left|2\pi \cdot 10^3 - \frac{64\pi^2 \cdot 10^6}{2\pi \cdot 10^3}\right| = \left|2\pi \cdot 10^3 - 32\pi \cdot 10^3\right| = |-30\pi \cdot 10^3| = 30\pi \cdot 10^3$ рад/с

Значение в числителе:

$\sqrt{Z_1^2 - R^2} = \sqrt{(1000)^2 - 10^2} = \sqrt{1000000 - 100} = \sqrt{999900} \approx 999.95$ Ом

Теперь можем рассчитать индуктивность:

$L = \frac{999.95}{30\pi \cdot 10^3} \approx \frac{1000}{30 \cdot 3.14159 \cdot 1000} = \frac{1}{30\pi} \approx 0.01061$ Гн

Переведем в миллигенри: $L \approx 10.61$ мГн.

Примечание: Полученный ответ ($L \approx 10.6$ мГн) значительно отличается от ответа, указанного в условии задачи (10 Гн). Расхождение составляет три порядка. Это указывает на вероятную опечатку в исходных данных задачи. Например, если бы полное сопротивление контура $Z_1$ было равно не 1 кОм, а 1 МОм, то результат был бы $L \approx 10.6$ Гн, что близко к ответу из условия. В представленном решении использовались данные строго из текста задачи.

Ответ: $L \approx 0.0106$ Гн (или $10.6$ мГн).