Номер 2.6.1, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.1. В цепь переменного тока частотой 400 Гц включена катушка индуктивностью 0,1 Гн. Конденсатор какой емкости надо включить в эту цепь, чтобы осуществился резонанс? (Ответ: 1,6 мкФ.)

Дано:

Частота переменного тока, $f = 400$ Гц

Индуктивность катушки, $L = 0,1$ Гн

Данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Емкость конденсатора, $C$

Решение:

Резонанс в колебательном контуре (цепи, содержащей индуктивность и емкость) наступает, когда индуктивное сопротивление катушки $X_L$ становится равным емкостному сопротивлению конденсатора $X_C$. Это условие записывается в виде формулы:

$X_L = X_C$

Индуктивное и емкостное сопротивления для цепи переменного тока определяются по следующим формулам:

$X_L = \omega L = 2 \pi f L$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$

где $\omega$ — циклическая частота, $f$ — линейная частота, $L$ — индуктивность, $C$ — емкость.

Подставив эти выражения в условие резонанса, получаем формулу Томсона для резонансной частоты:

$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$

Из этого равенства необходимо выразить искомую емкость $C$:

$(2 \pi f)^2 L C = 1$

$C = \frac{1}{(2 \pi f)^2 L}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу для расчета емкости:

$C = \frac{1}{(2 \cdot \pi \cdot 400 \text{ Гц})^2 \cdot 0,1 \text{ Гн}}$

$C = \frac{1}{(800\pi)^2 \cdot 0,1} \text{ Ф} = \frac{1}{640000 \pi^2 \cdot 0,1} \text{ Ф} = \frac{1}{64000 \pi^2} \text{ Ф}$

Для вычисления используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$C \approx \frac{1}{64000 \cdot (3,1416)^2} \text{ Ф} \approx \frac{1}{64000 \cdot 9,8696} \text{ Ф} \approx \frac{1}{631655} \text{ Ф} \approx 1,583 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Для удобства переведем результат в микрофарады (1 мкФ = $10^{-6}$ Ф):

$C \approx 1,583 \text{ мкФ}$

Округляя полученное значение до одного знака после запятой, получаем емкость, указанную в ответе к задаче.

$C \approx 1,6 \text{ мкФ}$

Ответ: емкость конденсатора, которую надо включить в цепь для осуществления резонанса, составляет approximately $1,6$ мкФ.