Номер 2.6.4, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.4. Конденсатор и катушка соединены последовательно. Емкостное сопротивление составляет $5000 \text{ Ом}$. Какой должна быть индуктивность катушки, чтобы резонанс напряжений наступил при частоте тока $20 \text{ кГц}$? (Ответ: $0,04 \text{ Гн}$.)

Дано:

Емкостное сопротивление $X_C = 5000$ Ом

Частота тока $f = 20$ кГц

Перевод в систему СИ:

$f = 20 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 20000 \text{ Гц}$

Найти:

Индуктивность катушки $L$

Решение:

В задаче описана цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности. Резонанс напряжений (или последовательный резонанс) в такой цепи возникает при определенной частоте тока, когда индуктивное и емкостное сопротивления равны по величине.

Условие резонанса напряжений имеет вид:

$X_L = X_C$

где $X_L$ — индуктивное сопротивление катушки, а $X_C$ — емкостное сопротивление конденсатора. При выполнении этого условия полное реактивное сопротивление цепи $X = X_L - X_C$ становится равным нулю, а полное сопротивление (импеданс) цепи $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ достигает своего минимального значения, равного активному сопротивлению цепи $R$.

По условию, резонанс наступает при частоте $f = 20$ кГц, и на этой частоте емкостное сопротивление составляет $X_C = 5000$ Ом. Из условия резонанса следует, что индуктивное сопротивление катушки на этой же частоте должно быть таким же:

$X_L = 5000$ Ом

Индуктивное сопротивление $X_L$ связано с индуктивностью катушки $L$ и циклической частотой тока $\omega$ следующим соотношением:

$X_L = \omega L$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ по формуле:

$\omega = 2\pi f$

Подставив выражение для $\omega$ в формулу для $X_L$, получим:

$X_L = 2\pi f L$

Из этого уравнения мы можем выразить искомую индуктивность $L$:

$L = \frac{X_L}{2\pi f}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные, переведенные в систему СИ:

$L = \frac{5000}{2\pi \cdot 20000} = \frac{5000}{40000\pi} = \frac{5}{40\pi} = \frac{1}{8\pi}$ Гн

Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$L \approx \frac{1}{8 \cdot 3.14159} \approx \frac{1}{25.13272} \approx 0.039788$ Гн

Округляя результат до сотых, получаем значение, соответствующее ответу в задаче:

$L \approx 0.04$ Гн

Ответ: индуктивность катушки должна быть 0,04 Гн.