Номер 2.6.3, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.3. Конденсатор емкостью 2,4 нФ соединен с катушкой индуктивности 32 мкГн и сопротивлением 2 Ом. Определите резонансную частоту контура. (Ответ: 0,57 МГц.)

Дано:

Емкость конденсатора $C = 2,4 \text{ нФ}$

Индуктивность катушки $L = 32 \text{ мкГн}$

Сопротивление $R = 2 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:

$C = 2,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

$L = 32 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$R = 2 \text{ Ом}$

Найти:

Резонансную частоту $f_{рез}$

Решение:

Рассматриваемый контур является последовательным RLC-контуром. Резонанс в таком контуре наступает, когда реактивное сопротивление катушки $X_L = \omega L$ становится равным реактивному сопротивлению конденсатора $X_C = \frac{1}{\omega C}$. При этом полное реактивное сопротивление контура равно нулю, а ток в цепи достигает максимального значения.

Условие резонанса: $X_L = X_C$, откуда $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.

Отсюда можно найти резонансную угловую частоту $\omega_{рез}$:

$\omega_{рез}^2 = \frac{1}{LC}$

$\omega_{рез} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Резонансная циклическая частота $f_{рез}$ связана с угловой частотой соотношением $f = \frac{\omega}{2\pi}$. Таким образом, для нахождения резонансной частоты используется формула Томсона:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Важно отметить, что активное сопротивление $R$ влияет на добротность контура и ширину резонансной кривой (т.е. на затухание колебаний), но не изменяет значение самой резонансной частоты.

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{32 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 2,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{76,8 \cdot 10^{-15} \text{ с}^2}}$

Для удобства вычислений преобразуем выражение под корнем:

$76,8 \cdot 10^{-15} = 7,68 \cdot 10^{-14}$

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{7,68 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-7} \cdot \sqrt{7,68} \text{ с}}$

Вычислим значение:

$f_{рез} \approx \frac{1}{2 \cdot 3,14159 \cdot 2,771 \cdot 10^{-7}} \approx \frac{1}{17,41 \cdot 10^{-7}} \text{ Гц}$

$f_{рез} \approx 0,05743 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 574300 \text{ Гц}$

Переведем результат в мегагерцы (МГц), разделив на $10^6$:

$f_{рез} \approx 0,5743 \text{ МГц}$

Округлив до сотых, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

Ответ: резонансная частота контура $f_{рез} \approx 0,57 \text{ МГц}$.