Номер 2.6.9, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.9. В сеть с напряжением 220 В включены последовательно катушка индуктивностью 0,16 Гн и проводник сопротивлением 2 Ом, а также конденсатор емкостью 64 мкФ. Определите силу тока в цепи, если частота его равна 200 Гц. При какой частоте наступит резонанс напряжений? Каковы будут при этом сила тока и напряжение на зажимах катушки и конденсатора? (Ответ: 1,2 А; 50 Гц; 5,5 кВ.)

Дано:

Напряжение сети $U = 220$ В

Индуктивность катушки $L = 0,16$ Гн

Активное сопротивление $R = 2$ Ом

Емкость конденсатора $C = 64$ мкФ

Частота тока $f_1 = 200$ Гц

Перевод в СИ:

$C = 64 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$I_1$ - ?, $f_{рез}$ - ?, $I_{рез}$ - ?, $U_{L_{рез}}$ - ?, $U_{C_{рез}}$ - ?

Решение:

Определите силу тока в цепи, если частота его равна 200 Гц.

Сила тока в RLC-цепи находится по закону Ома для переменного тока: $I = \frac{U}{Z}$, где $Z$ – полное сопротивление цепи (импеданс).

Импеданс вычисляется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, где $X_L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C$ – емкостное сопротивление.

Вычислим реактивные сопротивления для частоты $f_1 = 200$ Гц.

Круговая частота: $\omega_1 = 2\pi f_1 = 2\pi \cdot 200 = 400\pi$ рад/с.

Индуктивное сопротивление: $X_L = \omega_1 L = 400\pi \cdot 0,16 = 64\pi \approx 201,1$ Ом.

Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{\omega_1 C} = \frac{1}{400\pi \cdot 64 \cdot 10^{-6}} = \frac{10^6}{25600\pi} \approx 12,4$ Ом.

Полное сопротивление цепи:

$Z_1 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{2^2 + (201,1 - 12,4)^2} = \sqrt{4 + 188,7^2} \approx 188,7$ Ом.

Теперь найдем силу тока:

$I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{220 \text{ В}}{188,7 \text{ Ом}} \approx 1,166$ А.

Ответ: Сила тока в цепи при частоте 200 Гц составляет примерно 1,2 А.

При какой частоте наступит резонанс напряжений?

Резонанс напряжений в последовательной цепи наступает, когда индуктивное и емкостное сопротивления равны: $X_L = X_C$. Резонансная частота $f_{рез}$ определяется по формуле Томсона:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим значения:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,16 \text{ Гн} \cdot 64 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10,24 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 3,2 \cdot 10^{-3}} \approx 49,74$ Гц.

Ответ: Резонанс напряжений наступит при частоте примерно 50 Гц.

Каковы будут при этом сила тока и напряжение на зажимах катушки и конденсатора?

В момент резонанса $X_L = X_C$, поэтому полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: $Z_{рез} = R = 2$ Ом.

Сила тока в цепи достигает максимального (резонансного) значения:

$I_{рез} = \frac{U}{Z_{рез}} = \frac{U}{R} = \frac{220 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 110$ А.

Для нахождения напряжений на катушке и конденсаторе, вычислим их сопротивления на резонансной частоте. Для точности используем резонансную круговую частоту $\omega_{рез} = 2\pi f_{рез} = 2\pi \cdot 49,74 \approx 312,5$ рад/с.

$X_{L_{рез}} = \omega_{рез} L = 312,5 \cdot 0,16 = 50$ Ом.

$X_{C_{рез}} = \frac{1}{\omega_{рез} C} = \frac{1}{312,5 \cdot 64 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,02} = 50$ Ом.

Напряжение на зажимах катушки при резонансе:

$U_{L_{рез}} = I_{рез} \cdot X_{L_{рез}} = 110 \text{ А} \cdot 50 \text{ Ом} = 5500$ В = 5,5 кВ.

Напряжение на зажимах конденсатора при резонансе:

$U_{C_{рез}} = I_{рез} \cdot X_{C_{рез}} = 110 \text{ А} \cdot 50 \text{ Ом} = 5500$ В = 5,5 кВ.

Ответ: При резонансе сила тока будет равна 110 А, а напряжение на зажимах катушки и на зажимах конденсатора будет одинаковым и составит 5,5 кВ.