Номер 2.6.8, страница 59, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.6.8. В колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключено внешнее переменное напряжение, частоту которого можно менять, не меняя его амплитуды. При частотах внешнего напряжения 400 рад/с и 600 рад/с амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Определите резонансную частоту тока. (Ответ: $\approx 490$ рад/с.)

Дано:

Колебательный контур с последовательно соединенными R, L, C.

Частота $\omega_1 = 400$ рад/с

Частота $\omega_2 = 600$ рад/с

Амплитуда тока при частоте $\omega_1$ равна амплитуде тока при частоте $\omega_2$ ($I_{m1} = I_{m2}$).

Амплитуда внешнего напряжения $U_m$ постоянна.

Найти:

Резонансную частоту тока $\omega_0$.

Решение:

Амплитуда силы тока в последовательном RLC-контуре определяется законом Ома для цепи переменного тока:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

где $U_m$ — амплитуда напряжения, а $Z$ — полное сопротивление (импеданс) цепи, который вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

Здесь $R$ — активное сопротивление, $L$ — индуктивность, $C$ — ёмкость, а $\omega$ — циклическая частота внешнего напряжения.

Из условия задачи известно, что при двух различных частотах $\omega_1$ и $\omega_2$ амплитуды тока равны ($I_{m1} = I_{m2}$). Так как амплитуда напряжения $U_m$ постоянна, это означает, что и полные сопротивления цепи при этих частотах также равны:

$Z(\omega_1) = Z(\omega_2)$

$\sqrt{R^2 + (\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 C})^2} = \sqrt{R^2 + (\omega_2 L - \frac{1}{\omega_2 C})^2}$

Возводя обе части уравнения в квадрат и сокращая $R^2$, получаем:

$(\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 C})^2 = (\omega_2 L - \frac{1}{\omega_2 C})^2$

Это равенство возможно в двух случаях. Первый случай, $\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 C} = \omega_2 L - \frac{1}{\omega_2 C}$, не имеет физического смысла для $\omega_1 \neq \omega_2$, так как он приводит к отрицательному значению для L или C. Следовательно, должен выполняться второй случай:

$\omega_1 L - \frac{1}{\omega_1 C} = -(\omega_2 L - \frac{1}{\omega_2 C}) = \frac{1}{\omega_2 C} - \omega_2 L$

Сгруппируем слагаемые с $L$ в одной части уравнения, а с $C$ — в другой:

$\omega_1 L + \omega_2 L = \frac{1}{\omega_1 C} + \frac{1}{\omega_2 C}$

$L(\omega_1 + \omega_2) = \frac{1}{C}(\frac{1}{\omega_1} + \frac{1}{\omega_2}) = \frac{1}{C} \frac{\omega_1 + \omega_2}{\omega_1 \omega_2}$

Сократив обе части на $(\omega_1 + \omega_2)$, получим:

$L = \frac{1}{C \omega_1 \omega_2}$

Из этого выражения следует, что $LC = \frac{1}{\omega_1 \omega_2}$.

Резонансная частота $\omega_0$ определяется из условия $\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$, что эквивалентно $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ или $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Подставим полученное выражение для $LC$ в формулу для резонансной частоты:

$\omega_0^2 = \frac{1}{LC} = \omega_1 \omega_2$

Отсюда, резонансная частота является средним геометрическим двух частот, при которых наблюдаются одинаковые амплитуды тока:

$\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2}$

Подставим числовые значения из условия:

$\omega_0 = \sqrt{400 \cdot 600} = \sqrt{240000} = \sqrt{24 \cdot 10^4} = 100\sqrt{24} = 100 \cdot 2\sqrt{6} = 200\sqrt{6}$ рад/с.

Вычислим приближенное значение:

$\omega_0 \approx 200 \cdot 2.4495 \approx 489.9$ рад/с.

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$\omega_0 \approx 490$ рад/с.

Ответ: Резонансная частота тока $\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2} = \sqrt{400 \cdot 600} \approx 490$ рад/с.