Номер 2.5.7, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.5.7. В сеть переменного тока включены последовательно катушка индуктивностью 3 мГн и активным сопротивлением 20 $\Omega$, конденсатор емкостью 30 $\mu\text{Ф}$. Напряжение $U_c$ на конденсаторе составляет 50 В. Определите: напряжение на зажимах цепи; ток в цепи; напряжение на катушке; активную и реактивную мощности. (Ответ: 50,44 В; 0,471 А; 0,44 В; 4,44 Вт; -23,34 ВАр.)

Дано:

Индуктивность катушки $L = 3 \text{ мГн}$

Активное сопротивление катушки $R = 20 \text{ Ом}$

Емкость конденсатора $C = 30 \text{ мкФ}$

Напряжение на конденсаторе $U_C = 50 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:

$L = 3 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$R = 20 \text{ Ом}$

$C = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_C = 50 \text{ В}$

Найти:

Напряжение на зажимах цепи $U$

Ток в цепи $I$

Напряжение на катушке $U_{катушки}$

Активную мощность $P$

Реактивную мощность $Q$

Решение:

Для решения задачи необходимо знать частоту переменного тока. Поскольку она не указана, примем стандартное для промышленных сетей значение $f = 50 \text{ Гц}$. Для совпадения с ответами из задачника примем значение $\pi \approx 3,14$.

Угловая частота тока в цепи:

$\omega = 2\pi f \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 50 = 314 \text{ рад/с}$

Вычислим реактивные сопротивления элементов цепи.

Емкостное сопротивление конденсатора:

$X_C = \frac{1}{\omega C} \approx \frac{1}{314 \cdot 30 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 106,15 \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление катушки:

$X_L = \omega L \approx 314 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0,942 \text{ Ом}$

Для дальнейших расчетов определим силу тока в цепи. При последовательном соединении ток одинаков для всех элементов. Его можно найти, зная напряжение на конденсаторе и его сопротивление:

$I = \frac{U_C}{X_C} \approx \frac{50 \text{ В}}{106,15 \text{ Ом}} \approx 0,471 \text{ А}$

Теперь можем последовательно найти все искомые величины.

напряжение на зажимах цепи

Полное напряжение на зажимах цепи $U$ равно геометрической (векторной) сумме падений напряжений на всех элементах цепи: активном сопротивлении ($U_R$), индуктивности ($U_L$) и емкости ($U_C$).

Падение напряжения на активном сопротивлении:

$U_R = I \cdot R \approx 0,471 \text{ А} \cdot 20 \text{ Ом} = 9,42 \text{ В}$

Падение напряжения на индуктивности:

$U_L = I \cdot X_L \approx 0,471 \text{ А} \cdot 0,942 \text{ Ом} \approx 0,44 \text{ В}$

Напряжение на емкости дано в условии: $U_C = 50 \text{ В}$.

Так как напряжения $U_L$ и $U_C$ находятся в противофазе, а напряжение $U_R$ сдвинуто относительно них на 90°, полное напряжение цепи находим по теореме Пифагора:

$U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2} \approx \sqrt{(9,42 \text{ В})^2 + (0,44 \text{ В} - 50 \text{ В})^2} \approx \sqrt{88,74 + (-49,56)^2} \approx \sqrt{88,74 + 2456,23} \approx \sqrt{2544,97} \approx 50,44 \text{ В}$

Ответ: напряжение на зажимах цепи составляет приблизительно $50,44 \text{ В}$.

ток в цепи

Ток в цепи был вычислен в предварительной части решения на основе напряжения на конденсаторе и его реактивного сопротивления.

$I = \frac{U_C}{X_C} \approx \frac{50 \text{ В}}{106,15 \text{ Ом}} \approx 0,471 \text{ А}$

Ответ: ток в цепи составляет приблизительно $0,471 \text{ А}$.

напряжение на катушке

Исходя из контекста задачи и приведенного ответа, под "напряжением на катушке" подразумевается падение напряжения только на ее индуктивной составляющей ($U_L$), а не полное напряжение на катушке (которое включало бы и падение напряжения на ее активном сопротивлении $R$).

$U_L = I \cdot X_L \approx 0,471 \text{ А} \cdot 0,942 \text{ Ом} \approx 0,44 \text{ В}$

Ответ: напряжение на катушке (ее индуктивной части) составляет приблизительно $0,44 \text{ В}$.

активную и реактивную мощности

Активная мощность $P$ выделяется только на активном сопротивлении $R$ в виде тепла.

$P = I^2 \cdot R \approx (0,471 \text{ А})^2 \cdot 20 \text{ Ом} \approx 0,2218 \cdot 20 \approx 4,44 \text{ Вт}$

Реактивная мощность $Q$ представляет собой разность между реактивной мощностью индуктивности и емкости. Она характеризует обмен энергией между источником и реактивными элементами цепи.

$Q = Q_L - Q_C = I^2 \cdot X_L - I^2 \cdot X_C = I^2 (X_L - X_C)$

$Q \approx (0,471 \text{ А})^2 (0,942 \text{ Ом} - 106,15 \text{ Ом}) \approx 0,2218 \cdot (-105,208) \approx -23,34 \text{ ВАр}$

Отрицательный знак реактивной мощности означает, что в цепи преобладает емкостная нагрузка.

Ответ: активная мощность составляет $4,44 \text{ Вт}$, реактивная мощность составляет $-23,34 \text{ ВАр}$.