Номер 2.4.4, страница 47, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.4.4. В цепь переменного тока стандартной частоты включены последовательно резистор сопротивлением 500 Ом и катушка индуктивности. При этом между колебаниями напряжения и силы тока наблюдался сдвиг по фазе $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}$. Найдите индуктивность катушки $\text{L}$. Какую емкость $\text{C}$ надо включить в цепь последовательно, чтобы сдвиг по фазе $\varphi_2$ стал равен нулю? (Ответ: 1,6 Гн; $6,3 \cdot 10^{-6}$ Ф.)

Дано:

Сопротивление резистора $R = 500 \text{ Ом}$

Стандартная частота переменного тока (в РФ) $f = 50 \text{ Гц}$

Сдвиг фаз в начальной цепи (RL) $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}$

Сдвиг фаз в конечной цепи (RLC) $\varphi_2 = 0$

Данные величины, за исключением частоты, уже представлены в системе СИ. Частота $f = 50 \text{ Гц}$ также является единицей СИ.

Найти:

Индуктивность катушки $L$ и емкость конденсатора $C$.

Решение:

Найдите индуктивность катушки L.

В цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенных резистора и катушки индуктивности (RL-цепь), сдвиг фаз $\varphi_1$ между колебаниями напряжения и силы тока определяется соотношением:

$ \tan(\varphi_1) = \frac{X_L}{R} $

где $R$ — активное сопротивление, а $X_L$ — индуктивное сопротивление катушки.

Индуктивное сопротивление вычисляется по формуле $X_L = \omega L = 2\pi fL$, где $f$ — частота тока, а $L$ — индуктивность катушки.

Из условия задачи известно, что сдвиг фаз $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}$. Тангенс этого угла равен $ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Следовательно, мы можем записать: $ \frac{X_L}{R} = 1 $

Отсюда получаем, что индуктивное сопротивление равно активному: $X_L = R = 500 \text{ Ом}$.

Теперь можно найти индуктивность катушки $L$ из формулы для индуктивного сопротивления:

$ L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{R}{2\pi f} $

Подставим числовые значения:

$ L = \frac{500 \text{ Ом}}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц}} = \frac{500}{100\pi} = \frac{5}{\pi} \approx 1,5915 \text{ Гн} $.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $L \approx 1,6 \text{ Гн}$.

Ответ: $L \approx 1,6 \text{ Гн}$.

Какую емкость С надо включить в цепь последовательно, чтобы сдвиг по фазе φ₂ стал равен нулю?

Последовательно с резистором и катушкой включается конденсатор емкостью $C$. В получившейся RLC-цепи сдвиг фаз $\varphi_2$ определяется формулой:

$ \tan(\varphi_2) = \frac{X_L - X_C}{R} $

где $X_C$ — емкостное сопротивление, которое вычисляется как $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$.

По условию, новый сдвиг фаз должен быть равен нулю: $\varphi_2 = 0$. Тангенс нуля равен нулю: $\tan(0) = 0$.

Следовательно, $ \frac{X_L - X_C}{R} = 0 $, что выполняется только при условии $X_L - X_C = 0$.

Это означает, что индуктивное и емкостное сопротивления равны: $X_L = X_C$. Такое состояние цепи называется резонансом напряжений.

Из первой части задачи мы знаем, что $X_L = 500 \text{ Ом}$. Значит, емкостное сопротивление также должно быть равно $X_C = 500 \text{ Ом}$.

Теперь найдем емкость конденсатора $C$ из формулы для емкостного сопротивления:

$ C = \frac{1}{2\pi f X_C} $

Подставим числовые значения:

$ C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 500 \text{ Ом}} = \frac{1}{50000\pi} \approx 6,366 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} $.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $C \approx 6,3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$ (что равно 6,3 мкФ).

Ответ: $C \approx 6,3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$.