Номер 2, страница 44, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Постройте векторную диаграмму для цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор емкостью $\text{C}$ и резистор сопротивлением $\text{R}$. К цепи приложено переменное напряжение $u = U_m \cos (\omega t + \varphi)$. Определите сопротивление этой цепи.

Дано:

Цепь переменного тока: последовательно соединенные конденсатор емкостью $C$ и резистор сопротивлением $R$.

Приложенное напряжение: $u = U_m \cos(\omega t + \phi)$.

Найти:

Векторную диаграмму цепи, сопротивление цепи $Z$.

Решение:

Постройте векторную диаграмму для цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R.

При последовательном соединении элементов сила тока $i(t)$ в любой момент времени одинакова для всех элементов. Для построения векторной диаграммы удобно выбрать фазу тока за начальную. Пусть ток в цепи изменяется по закону $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ - амплитуда тока. Векторная диаграмма строится для амплитудных (или действующих) значений.

1. Вектор амплитуды тока $\vec{I_m}$ откладываем по горизонтальной оси вправо. Он является опорным.

2. Напряжение на резисторе $u_R(t)$ совпадает по фазе с током. Его амплитуда равна $U_{Rm} = I_m R$. Вектор амплитуды напряжения на резисторе $\vec{U_{Rm}}$ сонаправлен с вектором тока $\vec{I_m}$.

3. Напряжение на конденсаторе $u_C(t)$ отстает по фазе от тока на угол $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$). Его амплитуда равна $U_{Cm} = I_m X_C$, где $X_C = \frac{1}{\omega C}$ - емкостное сопротивление. Вектор амплитуды напряжения на конденсаторе $\vec{U_{Cm}}$ перпендикулярен вектору тока $\vec{I_m}$ и направлен вертикально вниз.

4. Полное напряжение на цепи $u(t)$ равно сумме мгновенных напряжений на ее участках: $u(t) = u_R(t) + u_C(t)$. Соответственно, вектор амплитуды полного напряжения $\vec{U_m}$ равен векторной сумме векторов амплитуд напряжений на резисторе и конденсаторе: $\vec{U_m} = \vec{U_{Rm}} + \vec{U_{Cm}}$.

В результате графического сложения векторов на диаграмме получается прямоугольный треугольник напряжений. Катетами этого треугольника являются векторы $\vec{U_{Rm}}$ и $\vec{U_{Cm}}$, а гипотенузой — вектор полного напряжения $\vec{U_m}$. Угол $\phi$ между гипотенузой $\vec{U_m}$ и катетом $\vec{U_{Rm}}$ (который сонаправлен с вектором тока) является сдвигом фаз между полным напряжением и током в цепи. Для данной RC-цепи напряжение отстает от тока, поэтому угол $\phi$ отрицателен.

Ответ: Векторная диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник, построенный на векторах амплитуд напряжений. Вектор напряжения на резисторе $\vec{U_{Rm}}$ сонаправлен с вектором тока $\vec{I_m}$. Вектор напряжения на конденсаторе $\vec{U_{Cm}}$ перпендикулярен вектору тока и отстает от него по фазе на $90^\circ$. Вектор полного напряжения $\vec{U_m}$ является их векторной суммой и служит гипотенузой этого треугольника.

Определите сопротивление этой цепи.

Полное сопротивление цепи переменному току (также называемое импедансом) $Z$ можно найти из треугольника напряжений, построенного на векторной диаграмме. Согласно теореме Пифагора для амплитудных значений напряжений:

$U_m^2 = U_{Rm}^2 + U_{Cm}^2$

Подставим в это уравнение выражения для амплитуд напряжений через амплитуду тока: $U_{Rm} = I_m R$ и $U_{Cm} = I_m X_C$.

$U_m^2 = (I_m R)^2 + (I_m X_C)^2 = I_m^2 (R^2 + X_C^2)$

По определению, полное сопротивление $Z$ равно отношению амплитуды напряжения на всей цепи к амплитуде тока в ней: $Z = \frac{U_m}{I_m}$.

Выразим квадрат этого отношения из предыдущей формулы:

$Z^2 = \frac{U_m^2}{I_m^2} = R^2 + X_C^2$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для полного сопротивления цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$

Заменив емкостное сопротивление $X_C$ его выражением через емкость $C$ и циклическую частоту $\omega$, получаем окончательный вид формулы:

$Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$

Ответ: Сопротивление этой цепи (импеданс) определяется формулой $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$.