Номер 2, страница 43, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Как можно определить амплитудные значения напряжения и силы тока для всей электрической цепи, в которой последовательно соединены резистор, катушка и конденсатор: а) методом векторных диаграмм; б) аналитическим выражением (т.е. формулой)?

В электрической цепи переменного тока, в которой последовательно соединены резистор (с активным сопротивлением $R$), катушка индуктивности (с индуктивностью $L$) и конденсатор (с ёмкостью $C$), амплитудные значения напряжения $U_m$ и силы тока $I_m$ можно определить следующими способами.

а) методом векторных диаграмм

Метод векторных диаграмм позволяет наглядно представить соотношения между амплитудами и фазами напряжений и тока. При последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи одинакова, поэтому вектор амплитуды силы тока $\vec{I}_m$ удобно выбрать в качестве базового и направить его горизонтально.

Далее строятся векторы амплитуд напряжений на каждом из элементов цепи:

1. Вектор амплитуды напряжения на резисторе $\vec{U}_{Rm}$. Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями тока, поэтому вектор $\vec{U}_{Rm}$ направлен так же, как и вектор $\vec{I}_m$. Его модуль (длина) равен $U_{Rm} = I_m R$.

2. Вектор амплитуды напряжения на катушке $\vec{U}_{Lm}$. Колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания тока на $\pi/2$ (90°). Поэтому вектор $\vec{U}_{Lm}$ направлен перпендикулярно вектору $\vec{I}_m$ вверх. Его модуль равен $U_{Lm} = I_m X_L = I_m \omega L$, где $X_L$ — индуктивное сопротивление.

3. Вектор амплитуды напряжения на конденсаторе $\vec{U}_{Cm}$. Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на $\pi/2$ (90°). Поэтому вектор $\vec{U}_{Cm}$ направлен перпендикулярно вектору $\vec{I}_m$ вниз. Его модуль равен $U_{Cm} = I_m X_C = \frac{I_m}{\omega C}$, где $X_C$ — ёмкостное сопротивление.

Амплитуда напряжения на всей цепи $U_m$ определяется как модуль вектора, равного геометрической сумме векторов напряжений на отдельных элементах: $\vec{U}_m = \vec{U}_{Rm} + \vec{U}_{Lm} + \vec{U}_{Cm}$.

Сложение векторов $\vec{U}_{Lm}$ и $\vec{U}_{Cm}$, которые направлены в противоположные стороны, дает вектор с модулем $|U_{Lm} - U_{Cm}|$. В результате сложения этого вектора с перпендикулярным ему вектором $\vec{U}_{Rm}$ получается прямоугольный треугольник напряжений. В этом треугольнике катетами являются $U_{Rm}$ и $|U_{Lm} - U_{Cm}|$, а гипотенузой — искомая амплитуда полного напряжения $U_m$.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника следует, что амплитуда напряжения на всей цепи равна:

$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + (U_{Lm} - U_{Cm})^2}$

Этот метод позволяет определить амплитуду напряжения $U_m$, если известна амплитуда тока $I_m$, или наоборот, вывести соотношение между ними, что приводит к понятию импеданса.

Ответ: С помощью векторной диаграммы амплитуду напряжения $U_m$ для всей цепи определяют как длину вектора, являющегося гипотенузой в прямоугольном треугольнике напряжений. Катетами этого треугольника служат амплитуда напряжения на резисторе $U_{Rm}$ и модуль разности амплитуд напряжений на катушке и конденсаторе $|U_{Lm} - U_{Cm}|$. Амплитуду тока $I_m$ можно найти, если известна $U_m$ и полное сопротивление $Z$, формула для которого также выводится из данной диаграммы.

б) аналитическим выражением (т.е. формулой)

Аналитический способ основан на применении закона Ома для цепи переменного тока, который связывает амплитуды напряжения $U_m$, силы тока $I_m$ и полное сопротивление цепи $Z$ (импеданс).

Амплитуду силы тока $I_m$ можно определить по формуле, если известна амплитуда напряжения $U_m$ и импеданс $Z$:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

Соответственно, амплитуду напряжения $U_m$ можно найти, если известна амплитуда тока $I_m$ и импеданс $Z$:

$U_m = I_m Z$

Импеданс $Z$ является полной характеристикой сопротивления цепи переменному току и рассчитывается по формуле, которая выводится из векторной диаграммы напряжений (см. пункт а):

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Подставив в эту формулу выражения для индуктивного ($X_L = \omega L$) и ёмкостного ($X_C = \frac{1}{\omega C}$) сопротивлений, получим полное выражение для импеданса через параметры цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$

где $\omega$ — это циклическая частота переменного тока ($\omega = 2\pi f$, где $f$ — линейная частота).

Таким образом, зная параметры цепи ($R, L, C$) и частоту тока $\omega$, можно вычислить импеданс $Z$, а затем, зная одну из амплитуд (тока или напряжения), найти другую.

Ответ: Амплитудные значения напряжения и силы тока определяются по закону Ома для цепи переменного тока: $I_m = U_m / Z$ и $U_m = I_m Z$. Полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ вычисляется по формуле $Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$, где $R$ — активное сопротивление, $L$ — индуктивность, $C$ — ёмкость, а $\omega$ — циклическая частота тока.