Номер 2.3.9, страница 40, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.3.9. Рамка площадью 200 см² вращается вокруг своей оси с частотой 10 Гц в магнитном поле с индукцией 1 Тл. В начальный момент времени нормаль к плоскости рамки направлена вдоль линий магнитной индукции. Напишите уравнение зависимости ЭДС индукции от времени для данной рамки. (Ответ: $\varepsilon = 1.256 \sin 62.8 t$.)

Дано:

Площадь рамки $S_0 = 200 \text{ см}^2$

Частота вращения $f = 10 \text{ Гц}$

Магнитная индукция $B = 1 \text{ Тл}$

В начальный момент времени $t=0$ нормаль к плоскости рамки сонаправлена с вектором магнитной индукции ($\alpha_0 = 0$).

Перевод в систему СИ:

Площадь рамки $S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,02 \text{ м}^2$.

Найти:

Уравнение зависимости ЭДС индукции от времени $ε(t)$.

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в проводящем контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$ε = - \frac{dФ}{dt}$

где $Ф$ — магнитный поток, пронизывающий контур.

Магнитный поток через рамку в однородном магнитном поле вычисляется по формуле:

$Ф = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки.

Рамка вращается с постоянной частотой $f$. Угловая скорость вращения $\omega$ связана с частотой соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Угол $\alpha$ изменяется со временем по линейному закону $\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$. Согласно условию, в начальный момент времени ($t=0$) нормаль к рамке направлена вдоль линий магнитной индукции, следовательно, начальный угол $\alpha_0=0$. Таким образом, зависимость угла от времени имеет вид:

$\alpha(t) = \omega t$

Подставим это в формулу для магнитного потока, чтобы получить его зависимость от времени:

$Ф(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Теперь, чтобы найти ЭДС индукции, возьмем производную от магнитного потока по времени со знаком минус:

$ε(t) = - \frac{d}{dt} (B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Так как величины $B$ и $S$ постоянны, выносим их за знак производной:

$ε(t) = -B \cdot S \cdot \frac{d}{dt}(\cos(\omega t))$

Производная от $\cos(\omega t)$ по времени $t$ равна $(-\omega \sin(\omega t))$:

$ε(t) = -B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Полученное уравнение имеет вид $ε(t) = ε_{max} \sin(\omega t)$, где $ε_{max} = B \cdot S \cdot \omega$ — амплитуда ЭДС.

Рассчитаем численные значения угловой скорости и амплитуды ЭДС, используя значение $\pi \approx 3,14$.

Угловая скорость:

$\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3,14 \cdot 10 \text{ Гц} = 62,8 \text{ рад/с}$

Амплитуда ЭДС:

$ε_{max} = B \cdot S \cdot \omega = 1 \text{ Тл} \cdot 0,02 \text{ м}^2 \cdot 62,8 \text{ рад/с} = 1,256 \text{ В}$

Подставим найденные значения в уравнение для $ε(t)$:

$ε(t) = 1,256 \sin(62,8 t)$

Ответ: $ε = 1,256 \sin(62,8 t)$.