Номер 2.3.10, страница 40, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.3.10. Действующее значение напряжения в сети переменного тока с частотой 50 Гц равно 120 В. Определите время, в течение которого горит неоновая лампа в каждом полупериоде, если потенциал зажигания лампы равен 84 В. (Ответ: 6,7 мс.)

Дано:

Действующее значение напряжения $U_{дейст} = 120$ В

Частота переменного тока $f = 50$ Гц

Потенциал зажигания лампы $U_{заж} = 84$ В

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Время горения лампы в каждом полупериоде $\Delta t$.

Решение:

Мгновенное значение напряжения в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону и описывается формулой:

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$

где $u(t)$ – мгновенное значение напряжения, $U_m$ – амплитудное значение напряжения, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $t$ – время.

Амплитудное значение напряжения связано с действующим (среднеквадратичным) значением $U_{дейст}$ соотношением:

$U_m = U_{дейст} \sqrt{2}$

Подставим значение $U_{дейст}$:

$U_m = 120 \cdot \sqrt{2} \approx 169,7$ В.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ следующим образом:

$\omega = 2\pi f$

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

Неоновая лампа загорается, когда мгновенное напряжение $u(t)$ достигает потенциала зажигания $U_{заж}$, и продолжает гореть, пока напряжение превышает это значение. В каждом полупериоде лампа вспыхивает и гаснет. Рассмотрим один положительный полупериод, где напряжение $u(t) \ge 0$.

Лампа зажжется в момент времени $t_1$ и погаснет в момент $t_2$, когда мгновенное напряжение равно напряжению зажигания:

$U_m \sin(\omega t) = U_{заж}$

Отсюда выразим синус угла:

$\sin(\omega t) = \frac{U_{заж}}{U_m}$

Подставим числовые значения:

$\sin(\omega t) = \frac{84}{120\sqrt{2}} \approx \frac{84}{169,7} \approx 0,495$

В течение первого полупериода (когда фаза $\omega t$ изменяется от 0 до $\pi$) это уравнение имеет два решения. Первое решение (момент зажигания) соответствует фазе $\phi_1$:

$\phi_1 = \arcsin\left(\frac{U_{заж}}{U_m}\right) = \arcsin(0,495) \approx 0,5178$ рад.

Второе решение (момент погасания) соответствует фазе $\phi_2$. Из-за симметрии синусоиды относительно точки $\pi/2$ в интервале $[0, \pi]$, второй корень равен:

$\phi_2 = \pi - \phi_1$

Время, в течение которого лампа горит, равно разности моментов времени $t_2$ и $t_1$:

$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\phi_2}{\omega} - \frac{\phi_1}{\omega} = \frac{\phi_2 - \phi_1}{\omega}$

Подставив выражения для фаз, получим:

$\Delta t = \frac{(\pi - \phi_1) - \phi_1}{\omega} = \frac{\pi - 2\phi_1}{\omega}$

Теперь подставим все числовые значения:

$\Delta t = \frac{\pi - 2 \cdot 0,5178}{100\pi} \approx \frac{3,1416 - 1,0356}{314,16} = \frac{2,106}{314,16} \approx 0,0067$ с.

Переведем секунды в миллисекунды:

$0,0067 \text{ с} = 6,7$ мс.

Ответ: 6,7 мс.