Номер 3, страница 44, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3. Имеется цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор сопротивлением $\text{R}$, конденсатор емкостью $\text{C}$ и катушку индуктивностью $\text{L}$. К концам этой цепи подается переменное напряжение $u = U_0 \cos (\omega t + \varphi)$. Чему равно полное сопротивление этой цепи?

3. Дано:

Цепь переменного тока, содержащая последовательно соединенные элементы:

Резистор сопротивлением $R$

Конденсатор емкостью $C$

Катушка индуктивностью $L$

Переменное напряжение $u = U_m \cos(\omega t + \phi)$, где $\omega$ - циклическая частота.

Найти:

Полное сопротивление цепи $Z$.

Решение:

Полное сопротивление цепи переменного тока (импеданс) $Z$ в последовательном RLC-контуре определяется по закону Ома для цепи переменного тока и складывается из активного и реактивного сопротивлений.

1. Активное сопротивление $R$ создается резистором. Оно не зависит от частоты тока.

2. Реактивное сопротивление создается катушкой индуктивности и конденсатором.

Индуктивное сопротивление $X_L$ катушки рассчитывается по формуле:

$X_L = \omega L$

где $\omega$ — циклическая частота переменного тока, $L$ — индуктивность катушки.

Емкостное сопротивление $X_C$ конденсатора рассчитывается по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

где $C$ — емкость конденсатора.

Поскольку в последовательной цепи колебания напряжения на катушке опережают по фазе ток на $\frac{\pi}{2}$, а на конденсаторе — отстают на $\frac{\pi}{2}$, то их действия на ток противоположны. Общее реактивное сопротивление цепи $X$ равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

$X = X_L - X_C = \omega L - \frac{1}{\omega C}$

Активное сопротивление $R$ и реактивное сопротивление $X$ сдвинуты по фазе на 90° ($\frac{\pi}{2}$). Поэтому полное сопротивление (импеданс) $Z$ находится по теореме Пифагора как гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $R$ и $X$:

$Z^2 = R^2 + X^2$

Подставляя выражение для $X$, получаем:

$Z^2 = R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2$

Следовательно, модуль полного сопротивления цепи равен:

$Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$

Ответ: Полное сопротивление этой цепи равно $Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$.