Задание(теоретический анализ), страница 120, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

Почему увеличение в два раза дальности радиосвязи с космическими кораблями требует возрастания мощности передатчика в 16 раз? Источник радиоволны точечный, а поглощение энергии средой пренебрежимо мало.

Это явление объясняется законом обратных квадратов, который применяется дважды: для сигнала, идущего от передатчика к космическому кораблю, и для ответного сигнала, идущего от корабля к приемнику на Земле. В результате мощность принимаемого сигнала оказывается обратно пропорциональной четвертой степени расстояния.

Дано:

Отношение конечной дальности к начальной: $\frac{r_2}{r_1} = 2$.

Источник радиоволн является точечным.

Поглощением энергии в среде можно пренебречь.

Найти:

Отношение требуемой мощности передатчика для новой дальности к начальной мощности: $\frac{P_2}{P_1}$.

Решение:

Поскольку источник радиоволн точечный и поглощение энергии средой пренебрежимо мало, энергия волны распространяется равномерно во все стороны, распределяясь по поверхности сферы. Интенсивность $I$ (энергия, проходящая через единицу площади в единицу времени) на расстоянии $r$ от источника мощностью $P$ определяется как:

$I = \frac{P}{S} = \frac{P}{4\pi r^2}$

где $S = 4\pi r^2$ — площадь сферы радиусом $r$. Таким образом, интенсивность сигнала обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

Процесс радиосвязи в данном контексте включает в себя два этапа распространения сигнала:

1. Сигнал от Земли к космическому кораблю.

Передатчик на Земле имеет мощность $P_{пер}$. Интенсивность сигнала, достигающего космического корабля на расстоянии $r$, будет обратно пропорциональна квадрату этого расстояния:

$I_{к} \propto \frac{P_{пер}}{r^2}$

2. Сигнал от космического корабля к Земле.

Корабль, приняв сигнал, становится вторичным источником, который излучает сигнал обратно (пассивно отражая или активно ретранслируя). Мощность этого вторичного излучения $P_{втор}$ пропорциональна интенсивности падающего на корабль сигнала $I_{к}$. Следовательно, $P_{втор} \propto I_{к} \propto \frac{P_{пер}}{r^2}$.

Этот вторичный сигнал распространяется обратно к Земле. Его интенсивность $I_{з}$ у приемника на Земле также будет обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$:

$I_{з} \propto \frac{P_{втор}}{r^2}$

Если подставить зависимость для $P_{втор}$, мы получим общую зависимость интенсивности принятого на Земле сигнала от мощности исходного передатчика и расстояния:

$I_{з} \propto \frac{1}{r^2} \cdot \left(\frac{P_{пер}}{r^2}\right) = \frac{P_{пер}}{r^4}$

Для обеспечения надежной связи интенсивность принимаемого сигнала $I_{з}$ должна быть не ниже определенного порогового значения. Это означает, что для компенсации ослабления сигнала, мощность передатчика $P_{пер}$ должна быть прямо пропорциональна четвертой степени расстояния:

$P_{пер} \propto r^4$

Сравним требуемые мощности $P_1$ и $P_2$ для расстояний $r_1$ и $r_2=2r_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4$

Подставив значение $\frac{r_2}{r_1} = 2$, получаем:

$\frac{P_2}{P_1} = 2^4 = 16$

Таким образом, при увеличении дальности в 2 раза, интенсивность сигнала на пути к кораблю падает в $2^2 = 4$ раза, и интенсивность ответного сигнала на пути к Земле падает еще в 4 раза. Чтобы скомпенсировать общее ослабление в $4 \times 4 = 16$ раз, мощность передатчика необходимо увеличить в 16 раз.

Ответ: Увеличение дальности радиосвязи в два раза требует возрастания мощности передатчика в 16 раз, так как мощность принимаемого ответного сигнала обратно пропорциональна четвертой степени расстояния.