Номер 6.3.10, страница 172, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.3.10. Луч света падает под углом $58^\circ$ на поверхность воды, налитой слоем толщины 10 мм в стеклянное блюдце с плоскопараллельным дном. Показатель преломления воды составляет 1,33. Найдите показатель преломления стекла блюдца, если вышедший под блюдцем луч смещен относительно падающего на расстояние 6,2 мм, а в стекле луч проходит путь, равный 5 мм. (Ответ: 1,55.)

Дано:

Угол падения на поверхность воды $\gamma=58^\circ$

Толщина слоя воды $h_1 = 10 \text{ мм}$

Показатель преломления воды $n_1 = 1,33$

Общее боковое смещение луча $d = 6,2 \text{ мм}$

Путь луча в стекле $L_2 = 5 \text{ мм}$

Показатель преломления воздуха $n_0 = 1$

Перевод в СИ:

$h_1 = 0,01 \text{ м}$

$d = 0,0062 \text{ м}$

$L_2 = 0,005 \text{ м}$

Найти:

Показатель преломления стекла $n_2$

Решение:

В условии задачи сказано, что луч света падает «под углом 58° на поверхность воды». Эта формулировка может означать как угол падения (угол с нормалью к поверхности), так и угол с самой поверхностью. Если предположить, что это угол с поверхностью, то угол падения $\alpha_1 = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. Однако, при таком значении угла падения расчет приводит к нефизическому результату. Поэтому примем, что в задаче имеется в виду угол падения, то есть угол между падающим лучом и нормалью к поверхности: $\alpha_1 = 58^\circ$.

Луч света проходит последовательно через две плоскопараллельные среды: воду и стекло. Общее боковое смещение луча $d$ можно найти как сумму смещений, которые луч получил бы в каждой среде по отдельности, при условии, что смещение измеряется относительно первоначального направления луча. Формула для бокового смещения луча в одной пластине толщиной $h$ при угле падения $\alpha$ и угле преломления $\beta$ имеет вид $d_{смещ} = h \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$.

Для системы из двух пластин (вода и стекло) общее смещение $d$ можно выразить формулой:

$d = h_1 \frac{\sin(\alpha_1 - \beta_1)}{\cos \beta_1} + h_2 \frac{\sin(\alpha_1 - \beta_2)}{\cos \beta_2}$

где $h_1$ и $h_2$ – толщины слоев воды и стекла, $\alpha_1$ – угол падения на первую границу, $\beta_1$ и $\beta_2$ – углы преломления в воде и стекле соответственно.

Толщина стекла $h_2$ связана с длиной пути луча в стекле $L_2$ и углом преломления $\beta_2$ через соотношение: $h_2 = L_2 \cos \beta_2$.

Подставим выражение для $h_2$ в формулу для смещения:

$d = h_1 \frac{\sin(\alpha_1 - \beta_1)}{\cos \beta_1} + (L_2 \cos \beta_2) \frac{\sin(\alpha_1 - \beta_2)}{\cos \beta_2} = h_1 \frac{\sin(\alpha_1 - \beta_1)}{\cos \beta_1} + L_2 \sin(\alpha_1 - \beta_2)$

Теперь приступим к вычислениям. Сначала найдем угол преломления в воде $\beta_1$ по закону Снеллиуса для границы воздух-вода: $n_0 \sin \alpha_1 = n_1 \sin \beta_1$.

$\sin \beta_1 = \frac{n_0 \sin \alpha_1}{n_1} = \frac{1 \cdot \sin 58^\circ}{1,33} \approx \frac{0,8480}{1,33} \approx 0,6376$

$\beta_1 = \arcsin(0,6376) \approx 39,61^\circ$

Теперь подставим известные значения в формулу для смещения $d$. Можно использовать значения длин в миллиметрах, так как они входят в уравнение линейно.

$6,2 = 10 \cdot \frac{\sin(58^\circ - 39,61^\circ)}{\cos 39,61^\circ} + 5 \cdot \sin(58^\circ - \beta_2)$

$6,2 = 10 \cdot \frac{\sin 18,39^\circ}{\cos 39,61^\circ} + 5 \cdot \sin(58^\circ - \beta_2)$

$6,2 \approx 10 \cdot \frac{0,3155}{0,7704} + 5 \cdot \sin(58^\circ - \beta_2)$

$6,2 \approx 4,095 + 5 \cdot \sin(58^\circ - \beta_2)$

Выразим из этого уравнения $\sin(58^\circ - \beta_2)$:

$5 \cdot \sin(58^\circ - \beta_2) \approx 6,2 - 4,095 = 2,105$

$\sin(58^\circ - \beta_2) \approx \frac{2,105}{5} = 0,421$

Отсюда находим разность углов:

$58^\circ - \beta_2 \approx \arcsin(0,421) \approx 24,91^\circ$

Теперь можем найти угол преломления в стекле $\beta_2$:

$\beta_2 \approx 58^\circ - 24,91^\circ = 33,09^\circ$

Наконец, используя закон Снеллиуса для границы вода-стекло ($n_1 \sin \beta_1 = n_2 \sin \beta_2$), найдем показатель преломления стекла $n_2$:

$n_2 = n_1 \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta_2} = 1,33 \cdot \frac{\sin 39,61^\circ}{\sin 33,09^\circ} \approx 1,33 \cdot \frac{0,6376}{0,5459} \approx 1,553$

Округляя до сотых, получаем $1,55$.

Ответ: показатель преломления стекла блюдца составляет приблизительно $1,55$.