Номер 6.3.8, страница 172, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.3.8. На поверхности водоема глубиной 5 м плавает фанерный круг радиусом 1 м, над центром которого на высоте 2 м расположен точечный источник света. Определите радиус тени на дне водоема от круга. Показатель преломления воды равен 1,33. (Ответ: 2,8 м.)

Дано:

глубина водоема $H = 5$ м

радиус фанерного круга $r = 1$ м

высота источника света над центром круга $h = 2$ м

показатель преломления воды $n_{воды} = 1,33$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется. Будем считать показатель преломления воздуха $n_{возд} = 1$.

Найти:

Радиус тени на дне водоема $R$.

Решение:

Тень на дне образуется из-за того, что фанерный круг не пропускает свет. Край тени будет определяться лучами света, которые исходят от точечного источника, касаются края фанерного круга, а затем преломляются на границе раздела воздух-вода и достигают дна.

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть S — источник света, O — центр круга на поверхности воды, P — точка на краю круга. Луч SP падает на поверхность воды в точке P под углом падения $\alpha$ к нормали (вертикали).

Из прямоугольного треугольника, образованного источником света, центром круга и его краем, можно найти тангенс угла падения $\alpha$:

$\tan \alpha = \frac{r}{h}$

Подставим значения:

$\tan \alpha = \frac{1 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0,5$

При переходе из воздуха в воду луч преломляется. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_{возд} \sin \alpha = n_{воды} \sin \beta$

где $\beta$ — угол преломления. Так как $n_{возд} = 1$, то:

$\sin \alpha = n_{воды} \sin \beta$

Найдем синус угла падения $\alpha$, зная его тангенс, по тригонометрической формуле $\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}$:

$\sin \alpha = \frac{0,5}{\sqrt{1 + 0,5^2}} = \frac{0,5}{\sqrt{1 + 0,25}} = \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \approx 0,4472$

Теперь найдем синус угла преломления $\beta$:

$\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n_{воды}} = \frac{0,4472}{1,33} \approx 0,3362$

Преломленный луч распространяется в воде на глубину $H$. Он отклоняется от вертикали на расстояние $x$. Это расстояние можно найти из прямоугольного треугольника, образованного преломленным лучом, глубиной водоема и расстоянием $x$ на дне:

$x = H \tan \beta$

Найдем тангенс угла преломления $\beta$, зная его синус, по формуле $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\sqrt{1 - \sin^2 \beta}}$:

$\tan \beta = \frac{0,3362}{\sqrt{1 - (0,3362)^2}} = \frac{0,3362}{\sqrt{1 - 0,1130}} = \frac{0,3362}{\sqrt{0,8870}} \approx \frac{0,3362}{0,9418} \approx 0,3570$

Теперь вычислим расстояние $x$:

$x = 5 \text{ м} \cdot 0,3570 = 1,785$ м

Общий радиус тени на дне $R$ будет равен сумме радиуса фанерного круга $r$ и дополнительного расстояния $x$, на которое отклонился луч света из-за преломления.

$R = r + x$

$R = 1 \text{ м} + 1,785 \text{ м} = 2,785$ м

Округляя до десятых, получаем 2,8 м.

Ответ: радиус тени на дне водоема составляет приблизительно 2,8 м.