Номер 6.3.9, страница 172, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.3.9. На дне ручья лежит камешек, турист решил достать его. Прицелившись, он опустил руку в воду под углом $45^\circ$ к поверхности. На каком расстоянии от камешка рука коснется дна ручья, если его глубина равна 32 см? Показатель преломления воды составляет $\frac{4}{3}$. (Ответ: 12 см.)

Дано:

Угол, под которым рука входит в воду, к поверхности: $\gamma = 45^\circ$

Глубина ручья: $h = 32$ см

Показатель преломления воды: $n = \frac{4}{3}$

Показатель преломления воздуха: $n_0 = 1$

Перевод в систему СИ:

$h = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от камешка до места касания дна рукой: $L$

Решение:

Турист видит камешек под водой не там, где он находится на самом деле, а его мнимое изображение. Это происходит из-за преломления света на границе раздела сред "вода-воздух". Свет от камешка (точка P) выходит из воды в воздух под углом преломления $\alpha$ и попадает в глаз наблюдателя. Турист, прицелившись, опускает руку вдоль видимого направления луча. В задаче сказано, что он опустил руку под углом $45^\circ$ к поверхности. Это означает, что траектория руки в воде составляет угол $\alpha$ с нормалью (перпендикуляром) к поверхности, равный $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Пусть рука входит в воду в точке O на поверхности. Двигаясь прямолинейно под углом $\alpha = 45^\circ$ к нормали, рука коснется дна в точке H на горизонтальном расстоянии $x_H$ от вертикали, проходящей через точку O. Из геометрии прямоугольного треугольника, образованного траекторией руки, нормалью и дном ручья, находим $x_H$:

$x_H = h \cdot \tan(\alpha)$

Лучи света от настоящего положения камешка (точка P), который находится на той же глубине $h$, также проходят через точку O. Угол падения этих лучей на поверхность (угол в воде, отсчитываемый от нормали) обозначим как $\beta$. Согласно закону преломления Снеллиуса:

$n \cdot \sin(\beta) = n_0 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения, чтобы найти угол $\beta$:

$\frac{4}{3} \sin(\beta) = 1 \cdot \sin(45^\circ)$

$\sin(\beta) = \frac{3}{4} \sin(45^\circ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$

Действительное горизонтальное смещение камешка P относительно вертикали, проходящей через точку O, равно $x_P$ и находится из другого прямоугольного треугольника:

$x_P = h \cdot \tan(\beta)$

Чтобы найти $\tan(\beta)$, воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, где $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}$:

$\cos^2(\beta) = 1 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{9 \cdot 2}{64} = 1 - \frac{18}{64} = \frac{46}{64}$

$\cos(\beta) = \sqrt{\frac{46}{64}} = \frac{\sqrt{46}}{8}$

Теперь находим тангенс угла $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{3\sqrt{2}/8}{\sqrt{46}/8} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{46}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$

Теперь можем вычислить горизонтальные расстояния $x_H$ и $x_P$:

$x_H = h \cdot \tan(45^\circ) = 32 \cdot 1 = 32$ см

$x_P = h \cdot \tan(\beta) = 32 \cdot \frac{3}{\sqrt{23}} = \frac{96}{\sqrt{23}}$ см

Искомое расстояние $L$ — это разница между горизонтальными положениями точки касания рукой дна (H) и реальным положением камешка (P):

$L = x_H - x_P = 32 - \frac{96}{\sqrt{23}}$

Значение $\sqrt{23} \approx 4.796$. Расчет дает $L \approx 32 - \frac{96}{4.796} \approx 32 - 20.016 = 11.984$ см. Эта величина с высокой точностью равна 12 см. Вероятно, для получения целочисленного ответа, приведенного в задаче, было сделано допущение. Если предположить, что $L=12$ см, то $\frac{96}{\sqrt{23}} = 20$, что означает $\sqrt{23} = 4.8$ ($4.8^2=23.04$).

Используя это приближение, получаем:

$L = 32 - 20 = 12$ см.

Ответ: 12 см.