Номер 6.3.3, страница 171, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.3.3. Под каким углом световой луч падает на плоскую поверхность стекла, если отраженный и преломленный лучи образуют между собой прямой угол? Скорость света в стекле составляет $2 \cdot 10^8$ м/с. (Ответ: $56^\circ$.)

Дано:

Скорость света в стекле $v = 2 \cdot 10^8$ м/с.

Угол между отраженным и преломленным лучами $\gamma = 90^\circ$.

Скорость света в вакууме (и приблизительно в воздухе) $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

Показатель преломления первой среды (воздух) $n_1 \approx 1$.

Найти:

Угол падения $\alpha$.

Решение:

Когда световой луч падает на границу раздела двух сред (в данном случае, воздух-стекло), он частично отражается и частично преломляется. Пусть угол падения равен $\alpha$, угол отражения — $\alpha'$, а угол преломления — $\beta$. Все эти углы измеряются относительно нормали (перпендикуляра) к поверхности в точке падения луча.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения:

$\alpha' = \alpha$

Из условия задачи известно, что отраженный и преломленный лучи образуют прямой угол. Геометрически это означает, что сумма угла отражения и угла преломления составляет $90^\circ$, так как они отсчитываются от одной нормали в противоположные стороны относительно плоскости, содержащей падающий и отраженный лучи:

$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Заменив угол отражения $\alpha'$ на равный ему угол падения $\alpha$, получим связь между углом падения и углом преломления:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого соотношения можно выразить угол преломления $\beta$ через угол падения $\alpha$:

$\beta = 90^\circ - \alpha$

Далее используем закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздуха, $n_1 \approx 1$), а $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекла).

Абсолютный показатель преломления стекла $n_2$ найдем через отношение скорости света в вакууме $c$ к скорости света в стекле $v$:

$n_2 = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1.5$

Теперь подставим выражение для $\beta$ в закон Снеллиуса:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(90^\circ - \alpha)$

Применяя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, уравнение принимает вид:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \cos(\alpha)$

Чтобы найти тангенс угла падения, разделим обе части уравнения на $\cos(\alpha)$ (это возможно, так как угол падения $\alpha \neq 90^\circ$, иначе преломления бы не было):

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{n_2}{n_1}$

$\text{tg}(\alpha) = \frac{n_2}{n_1}$

Это выражение известно как закон Брюстера, а искомый угол в данном случае является углом Брюстера.

Подставим числовые значения показателей преломления:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{1.5}{1} = 1.5$

Найдем угол $\alpha$, вычислив арктангенс:

$\alpha = \text{arctg}(1.5) \approx 56.3^\circ$

Округляя до целых градусов, получаем искомый угол падения.

Ответ: угол падения светового луча составляет примерно $56^\circ$.